Номер 965, страница 339 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 965, страница 339.

Условие.

965. Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору за 3 мин, а по движущемуся за 45 с. Определить, за какое время поднимает эскалатор неподвижно стоящего на нём пассажира.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• $L$ – длина эскалатора.
• $v_п$ – скорость пассажира относительно эскалатора (скорость, с которой пассажир идет по ступеням).
• $v_э$ – скорость эскалатора относительно земли.
• $t_1 = 3 \text{ мин} = 3 \cdot 60 = 180 \text{ с}$ – время, за которое пассажир поднимается по неподвижному эскалатору.
• $t_2 = 45 \text{ с}$ – время, за которое пассажир поднимается по движущемуся эскалатору.
• $t_3$ – искомое время, за которое эскалатор поднимает неподвижно стоящего на нём пассажира.

Рассмотрим три ситуации:

1. Когда пассажир идет по неподвижному эскалатору, его скорость относительно земли равна его собственной скорости $v_п$. Пройденный путь $L$ можно выразить как:

$L = v_п \cdot t_1$

Отсюда скорость пассажира: $v_п = \frac{L}{t_1}$.

2. Когда пассажир идет по движущемуся эскалатору, его скорость относительно земли равна сумме его собственной скорости и скорости эскалатора: $v_п + v_э$. Пройденный путь $L$ в этом случае:

$L = (v_п + v_э) \cdot t_2$

Отсюда суммарная скорость: $v_п + v_э = \frac{L}{t_2}$.

3. Когда пассажир стоит на движущемся эскалаторе, его скорость относительно земли равна скорости эскалатора $v_э$. Время подъема $t_3$ связано с длиной и скоростью так:

$L = v_э \cdot t_3$

Отсюда скорость эскалатора: $v_э = \frac{L}{t_3}$.

Теперь подставим выражения для $v_п$ и $v_э$ в формулу для второго случая:

$\frac{L}{t_1} + \frac{L}{t_3} = \frac{L}{t_2}$

Поскольку длина эскалатора $L$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $L$:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_3} = \frac{1}{t_2}$

Нам нужно найти $t_3$. Выразим $\frac{1}{t_3}$ из этого уравнения:

$\frac{1}{t_3} = \frac{1}{t_2} - \frac{1}{t_1}$

Подставим числовые значения времени в секундах ($t_1 = 180 \text{ с}$, $t_2 = 45 \text{ с}$):

$\frac{1}{t_3} = \frac{1}{45} - \frac{1}{180}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю 180:

$\frac{1}{t_3} = \frac{1 \cdot 4}{45 \cdot 4} - \frac{1}{180} = \frac{4}{180} - \frac{1}{180} = \frac{3}{180}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{1}{t_3} = \frac{1}{60}$

Отсюда следует, что $t_3 = 60 \text{ с}$.

Это время можно также выразить в минутах: $60 \text{ с} = 1 \text{ мин}$.

Ответ: 60 с (или 1 мин).