Номер 972, страница 339 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 972, страница 339.

Условие.

972. Три дроби имеют числители, равные единице. Сумма этих дробей равна 1. Разность между первой и второй дробями равна третьей дроби. Сумма первых двух дробей в 5 раз больше третьей дроби. Найти эти дроби.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомые три дроби с числителем, равным единице, будут $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{y}$ и $\frac{1}{z}$, где $x, y, z$ - это их знаменатели.

Исходя из условий задачи, составим систему из трех уравнений:

1. Сумма этих дробей равна 1: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$.

2. Разность между первой и второй дробями равна третьей дроби: $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$.

3. Сумма первых двух дробей в 5 раз больше третьей дроби: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \cdot \frac{1}{z}$.

Теперь решим эту систему уравнений. Удобно начать с последних двух уравнений, чтобы выразить первую и вторую дроби через третью.

Сложим второе и третье уравнения: $(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) + (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{1}{z} + \frac{5}{z}$

$2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{6}{z}$

Разделив обе части на 2, получим: $\frac{1}{x} = \frac{3}{z}$.

Теперь вычтем второе уравнение из третьего: $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) - (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = \frac{5}{z} - \frac{1}{z}$

$2 \cdot \frac{1}{y} = \frac{4}{z}$

Разделив обе части на 2, получим: $\frac{1}{y} = \frac{2}{z}$.

Теперь у нас есть выражения для $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$ через $z$. Подставим их в первое уравнение системы: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$.

$\frac{3}{z} + \frac{2}{z} + \frac{1}{z} = 1$

$\frac{3+2+1}{z} = 1$

$\frac{6}{z} = 1$, откуда следует, что $z=6$.

Таким образом, третья дробь равна $\frac{1}{6}$.

Теперь, зная $z$, легко найти $x$ и $y$:

Для первой дроби: $\frac{1}{x} = \frac{3}{z} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Следовательно, первая дробь - это $\frac{1}{2}$.

Для второй дроби: $\frac{1}{y} = \frac{2}{z} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Следовательно, вторая дробь - это $\frac{1}{3}$.

Итак, мы нашли три дроби: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{6}$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные дроби всем условиям задачи:

1. Сумма: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$. (Верно)

2. Разность первой и второй: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$. (Верно)

3. Сумма первых двух и ее отношение к третьей: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$. Эта величина действительно в 5 раз больше третьей дроби $\frac{1}{6}$, так как $5 \times \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. (Верно)

Ответ: Искомые дроби: $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}$.