Номер 979, страница 340 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 979, страница 340.

Условие.

979. Найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если сумма первых трёх её членов равна нулю, а сумма четырёх первых членов равна 1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии, обозначаемая $S_n$, вычисляется по формуле $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

По условию задачи, сумма первых трёх членов равна нулю, то есть $S_3 = 0$. Запишем это условие, используя члены прогрессии:

$S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 0$

Выразим $a_2$ и $a_3$ через $a_1$ и $d$:

$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 0$

$3a_1 + 3d = 0$

$3(a_1 + d) = 0$

Из этого следует, что $a_1 + d = 0$. Так как второй член прогрессии $a_2 = a_1 + d$, мы получаем, что $a_2 = 0$.

Также по условию, сумма первых четырёх членов равна 1, то есть $S_4 = 1$.

Сумму первых четырёх членов можно представить как сумму первых трёх членов плюс четвёртый член: $S_4 = S_3 + a_4$.

Так как $S_3 = 0$, получаем $0 + a_4 = 1$, откуда следует, что $a_4 = 1$.

Теперь у нас есть значения двух членов прогрессии: $a_2 = 0$ и $a_4 = 1$. Мы можем использовать их, чтобы найти разность прогрессии $d$.

$a_4 = a_2 + 2d$

$1 = 0 + 2d$

$2d = 1$

$d = \frac{1}{2}$

Зная разность $d$ и второй член $a_2$, найдем первый член $a_1$:

$a_2 = a_1 + d$

$0 = a_1 + \frac{1}{2}$

$a_1 = -\frac{1}{2}$

Теперь, когда мы знаем первый член $a_1 = -\frac{1}{2}$ и разность $d = \frac{1}{2}$, мы можем найти сумму первых двенадцати членов прогрессии, $S_{12}$.

Воспользуемся формулой суммы:

$S_{12} = \frac{2a_1 + d(12-1)}{2} \cdot 12$

$S_{12} = (2a_1 + 11d) \cdot 6$

Подставим найденные значения $a_1$ и $d$:

$S_{12} = \left(2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 11 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 6$

$S_{12} = \left(-1 + \frac{11}{2}\right) \cdot 6$

$S_{12} = \left(-\frac{2}{2} + \frac{11}{2}\right) \cdot 6$

$S_{12} = \frac{9}{2} \cdot 6 = 9 \cdot 3 = 27$

Ответ: 27