Номер 982, страница 340 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 982, страница 340.
№982 (с. 340)
Условие. №982 (с. 340)
скриншот условия

982. Произведение пятого и шестого членов арифметической прогрессии в 33 раза больше произведения её первого и второго членов. Во сколько раз пятый член прогрессии больше второго, если известно, что все члены прогрессии положительны?
Решение 1. №982 (с. 340)

Решение 2. №982 (с. 340)

Решение 3. №982 (с. 340)
Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. По условию, все члены прогрессии положительны ($a_n > 0$), следовательно, $a_1 > 0$ и разность $d$ должна быть неотрицательной. Если $d=0$, то все члены равны, и условие $a_5 \cdot a_6 = 33 \cdot a_1 \cdot a_2$ превращается в $a_1^2 = 33a_1^2$, что возможно только при $a_1=0$, а это противоречит условию положительности членов. Значит, $d > 0$.
Выразим нужные члены прогрессии через $a_1$ и $d$ по формуле $n$-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
- Второй член: $a_2 = a_1 + d$
- Пятый член: $a_5 = a_1 + 4d$
- Шестой член: $a_6 = a_1 + 5d$
Подставим эти выражения в уравнение, данное в условии задачи: $a_5 \cdot a_6 = 33 \cdot (a_1 \cdot a_2)$.
$(a_1 + 4d)(a_1 + 5d) = 33 \cdot a_1(a_1 + d)$
Раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$a_1^2 + 5a_1d + 4a_1d + 20d^2 = 33a_1^2 + 33a_1d$
$a_1^2 + 9a_1d + 20d^2 = 33a_1^2 + 33a_1d$
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить однородное квадратное уравнение:
$32a_1^2 + 24a_1d - 20d^2 = 0$
Разделив все члены уравнения на 4, получим:
$8a_1^2 + 6a_1d - 5d^2 = 0$
Поскольку $d \neq 0$, мы можем разделить всё уравнение на $d^2$ и ввести замену $x = \frac{a_1}{d}$:
$8\left(\frac{a_1}{d}\right)^2 + 6\left(\frac{a_1}{d}\right) - 5 = 0$
$8x^2 + 6x - 5 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $x$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 36 + 160 = 196 = 14^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 8} = \frac{-6 + 14}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{196}}{2 \cdot 8} = \frac{-6 - 14}{16} = \frac{-20}{16} = -\frac{5}{4}$
Поскольку $a_1 > 0$ и $d > 0$, их отношение $x = \frac{a_1}{d}$ должно быть положительным числом. Следовательно, корень $x_2 = -\frac{5}{4}$ не удовлетворяет условию задачи. Остаётся единственный подходящий вариант: $x = \frac{a_1}{d} = \frac{1}{2}$, из которого следует, что $d = 2a_1$.
Теперь найдём, во сколько раз пятый член прогрессии больше второго. Для этого нужно вычислить отношение $\frac{a_5}{a_2}$:
$\frac{a_5}{a_2} = \frac{a_1 + 4d}{a_1 + d}$
Подставим найденное соотношение $d = 2a_1$ в это выражение:
$\frac{a_5}{a_2} = \frac{a_1 + 4(2a_1)}{a_1 + 2a_1} = \frac{a_1 + 8a_1}{3a_1} = \frac{9a_1}{3a_1} = 3$
Ответ: 3
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 982 расположенного на странице 340 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №982 (с. 340), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.