Номер 982, страница 340 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 982, страница 340.

Условие.

982. Произведение пятого и шестого членов арифметической прогрессии в 33 раза больше произведения её первого и второго членов. Во сколько раз пятый член прогрессии больше второго, если известно, что все члены прогрессии положительны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. По условию, все члены прогрессии положительны ($a_n > 0$), следовательно, $a_1 > 0$ и разность $d$ должна быть неотрицательной. Если $d=0$, то все члены равны, и условие $a_5 \cdot a_6 = 33 \cdot a_1 \cdot a_2$ превращается в $a_1^2 = 33a_1^2$, что возможно только при $a_1=0$, а это противоречит условию положительности членов. Значит, $d > 0$.

Выразим нужные члены прогрессии через $a_1$ и $d$ по формуле $n$-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:

• Второй член: $a_2 = a_1 + d$
• Пятый член: $a_5 = a_1 + 4d$
• Шестой член: $a_6 = a_1 + 5d$

Подставим эти выражения в уравнение, данное в условии задачи: $a_5 \cdot a_6 = 33 \cdot (a_1 \cdot a_2)$.

$(a_1 + 4d)(a_1 + 5d) = 33 \cdot a_1(a_1 + d)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$a_1^2 + 5a_1d + 4a_1d + 20d^2 = 33a_1^2 + 33a_1d$

$a_1^2 + 9a_1d + 20d^2 = 33a_1^2 + 33a_1d$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить однородное квадратное уравнение:

$32a_1^2 + 24a_1d - 20d^2 = 0$

Разделив все члены уравнения на 4, получим:

$8a_1^2 + 6a_1d - 5d^2 = 0$

Поскольку $d \neq 0$, мы можем разделить всё уравнение на $d^2$ и ввести замену $x = \frac{a_1}{d}$:

$8\left(\frac{a_1}{d}\right)^2 + 6\left(\frac{a_1}{d}\right) - 5 = 0$

$8x^2 + 6x - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 36 + 160 = 196 = 14^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 8} = \frac{-6 + 14}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{196}}{2 \cdot 8} = \frac{-6 - 14}{16} = \frac{-20}{16} = -\frac{5}{4}$

Поскольку $a_1 > 0$ и $d > 0$, их отношение $x = \frac{a_1}{d}$ должно быть положительным числом. Следовательно, корень $x_2 = -\frac{5}{4}$ не удовлетворяет условию задачи. Остаётся единственный подходящий вариант: $x = \frac{a_1}{d} = \frac{1}{2}$, из которого следует, что $d = 2a_1$.

Теперь найдём, во сколько раз пятый член прогрессии больше второго. Для этого нужно вычислить отношение $\frac{a_5}{a_2}$:

$\frac{a_5}{a_2} = \frac{a_1 + 4d}{a_1 + d}$

Подставим найденное соотношение $d = 2a_1$ в это выражение:

$\frac{a_5}{a_2} = \frac{a_1 + 4(2a_1)}{a_1 + 2a_1} = \frac{a_1 + 8a_1}{3a_1} = \frac{9a_1}{3a_1} = 3$

Ответ: 3