Номер 989, страница 341 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 989, страница 341.

Условие.

989. Отдел технического контроля проверяет половину изделий некоторой партии и признаёт годной всю партию, если среди проверенных изделий не более одного бракованного. Какова вероятность того, что партия из 20 изделий, в которой 2 бракованных, будет признана годной?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Вероятность $P$ вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$.

Сначала определим общее число возможных исходов $n$. Это число способов выбрать 10 изделий для проверки из партии в 20 изделий. Поскольку порядок выбора не важен, мы используем формулу для числа сочетаний:

$n = C_{20}^{10} = \frac{20!}{10!(20-10)!} = \frac{20!}{10!10!}$

Далее определим число благоприятствующих исходов $m$. Партия будет признана годной, если среди 10 проверенных изделий окажется не более одного бракованного. В партии имеется 2 бракованных изделия и $20 - 2 = 18$ годных. Таким образом, благоприятный исход наступает в двух случаях:

1. В выборке нет бракованных изделий (все 10 изделий — годные).
2. В выборке есть ровно одно бракованное изделие (и, соответственно, 9 годных).

Число способов для первого случая (0 бракованных, 10 годных):

$m_1 = C_{2}^{0} \cdot C_{18}^{10}$

Число способов для второго случая (1 бракованное, 9 годных):

$m_2 = C_{2}^{1} \cdot C_{18}^{9}$

Общее число благоприятных исходов $m$ равно сумме исходов этих двух несовместных событий: $m = m_1 + m_2$.

Искомая вероятность $P$ равна:

$P = \frac{m_1 + m_2}{n} = \frac{C_{2}^{0} \cdot C_{18}^{10} + C_{2}^{1} \cdot C_{18}^{9}}{C_{20}^{10}}$

Эту вероятность можно рассчитать как сумму вероятностей двух несовместных событий: $P = P_1 + P_2$, где $P_1$ — вероятность выбрать 0 бракованных изделий, а $P_2$ — вероятность выбрать 1 бракованное изделие.

Рассчитаем $P_1$:

$P_1 = \frac{C_{2}^{0} \cdot C_{18}^{10}}{C_{20}^{10}} = \frac{1 \cdot \frac{18!}{10!8!}}{\frac{20!}{10!10!}} = \frac{18! \cdot 10! \cdot 10!}{10! \cdot 8! \cdot 20!} = \frac{18! \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{8! \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18!} = \frac{10 \cdot 9}{20 \cdot 19} = \frac{90}{380} = \frac{9}{38}$

Рассчитаем $P_2$:

$P_2 = \frac{C_{2}^{1} \cdot C_{18}^{9}}{C_{20}^{10}} = \frac{2 \cdot \frac{18!}{9!9!}}{\frac{20!}{10!10!}} = \frac{2 \cdot 18! \cdot 10! \cdot 10!}{9! \cdot 9! \cdot 20!} = \frac{2 \cdot 18! \cdot (10 \cdot 9!) \cdot (10 \cdot 9!)}{9! \cdot 9! \cdot (20 \cdot 19 \cdot 18!)} = \frac{2 \cdot 10 \cdot 10}{20 \cdot 19} = \frac{200}{380} = \frac{20}{38}$

Суммарная вероятность того, что партия будет признана годной, равна:

$P = P_1 + P_2 = \frac{9}{38} + \frac{20}{38} = \frac{29}{38}$

Ответ: $\frac{29}{38}$