Номер 995, страница 342 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 995, страница 342.

Условие.

995. Найти коэффициенты $k$ и $b$ линейной функции $y = kx + b$, если её график проходит через точки A и B:

1) $A(-1; -2)$, $B(3; 2);$

2) $A(2; 1)$, $B(1; 2);$

3) $A(4; 2)$, $B(-4; -3);$

4) $A(-2; -2)$, $B(3; -2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) A(-1; -2), B(3; 2)

Для нахождения коэффициентов $k$ и $b$ линейной функции $y = kx + b$ подставим координаты точек A и B в уравнение функции. Это даст нам систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} -2 = k \cdot (-1) + b \\ 2 = k \cdot 3 + b \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} -2 = -k + b \\ 2 = 3k + b \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $k$:
$2 - (-2) = (3k + b) - (-k + b)$
$4 = 3k + b + k - b$
$4 = 4k$
$k = 1$

Теперь подставим найденное значение $k=1$ в первое уравнение ($ -2 = -k + b $), чтобы найти $b$:
$-2 = -1 + b$
$b = -2 + 1$
$b = -1$

Ответ: $k = 1$, $b = -1$.

2) A(2; 1), B(1; 2)

Составим систему уравнений, подставив координаты точек A и B в уравнение $y = kx + b$:

$ \begin{cases} 1 = k \cdot 2 + b \\ 2 = k \cdot 1 + b \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} 1 = 2k + b \\ 2 = k + b \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $k$:
$1 - 2 = (2k + b) - (k + b)$
$-1 = 2k + b - k - b$
$-1 = k$

Подставим значение $k=-1$ во второе уравнение ($ 2 = k + b $), чтобы найти $b$:
$2 = -1 + b$
$b = 2 + 1$
$b = 3$

Ответ: $k = -1$, $b = 3$.

3) A(4; 2), B(-4; -3)

Составим систему уравнений, подставив координаты точек A и B в уравнение $y = kx + b$:

$ \begin{cases} 2 = k \cdot 4 + b \\ -3 = k \cdot (-4) + b \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} 2 = 4k + b \\ -3 = -4k + b \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $b$:
$2 + (-3) = (4k + b) + (-4k + b)$
$-1 = 2b$
$b = -\frac{1}{2}$

Подставим найденное значение $b = -\frac{1}{2}$ в первое уравнение ($ 2 = 4k + b $), чтобы найти $k$:
$2 = 4k - \frac{1}{2}$
$2 + \frac{1}{2} = 4k$
$\frac{5}{2} = 4k$
$k = \frac{5}{2 \cdot 4} = \frac{5}{8}$

Ответ: $k = \frac{5}{8}$, $b = -\frac{1}{2}$.

4) A(-2; -2), B(3; -2)

Составим систему уравнений, подставив координаты точек A и B в уравнение $y = kx + b$:

$ \begin{cases} -2 = k \cdot (-2) + b \\ -2 = k \cdot 3 + b \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} -2 = -2k + b \\ -2 = 3k + b \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго:
$(-2) - (-2) = (3k + b) - (-2k + b)$
$0 = 3k + b + 2k - b$
$0 = 5k$
$k = 0$

Подставим найденное значение $k=0$ в первое уравнение ($ -2 = -2k + b $), чтобы найти $b$:
$-2 = -2 \cdot 0 + b$
$-2 = 0 + b$
$b = -2$

Ответ: $k = 0$, $b = -2$.