Номер 1002, страница 342 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1002, страница 342.

Условие.

1002. Доказать, что функция $y=-\sqrt{3x}-3$ убывает.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы доказать, что функция $y = -\sqrt{3x-3}$ убывает, необходимо показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $y(x_2) < y(x_1)$. Сделаем это двумя способами.

Способ 1: Доказательство по определению убывающей функции

1. Сначала найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$3x - 3 \ge 0$

$3x \ge 3$

$x \ge 1$

Следовательно, область определения функции $D(y)$ — это промежуток $[1, +\infty)$.

2. Теперь возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из области определения $[1, +\infty)$ так, чтобы выполнялось условие $x_2 > x_1$.

3. Преобразуем неравенство $x_2 > x_1$ шаг за шагом:

- Умножим обе части на 3 (знак неравенства не изменится):

$3x_2 > 3x_1$

- Вычтем из обеих частей 3 (знак неравенства не изменится):

$3x_2 - 3 > 3x_1 - 3$

- Так как $x_1 \ge 1$, то обе части неравенства $3x_1 - 3$ и $3x_2 - 3$ неотрицательны. Мы можем извлечь из них квадратный корень. Функция $g(t) = \sqrt{t}$ является возрастающей для неотрицательных $t$, поэтому знак неравенства сохранится:

$\sqrt{3x_2 - 3} > \sqrt{3x_1 - 3}$

- Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-\sqrt{3x_2 - 3} < -\sqrt{3x_1 - 3}$

4. Мы получили, что $y(x_2) < y(x_1)$. Так как это соотношение выполняется для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения при $x_2 > x_1$, функция $y = -\sqrt{3x-3}$ является убывающей на всей своей области определения.

Способ 2: Доказательство с помощью производной

1. Найдем производную функции. Если производная функции отрицательна на некотором интервале, то функция на этом интервале убывает.

Производная функции $y = -\sqrt{3x-3}$ находится по правилу дифференцирования сложной функции:

$y'(x) = \left(-\sqrt{3x-3}\right)' = \left(-(3x-3)^{\frac{1}{2}}\right)'$

$y'(x) = -\frac{1}{2}(3x-3)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (3x-3)'$

$y'(x) = -\frac{1}{2}(3x-3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3$

$y'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{3x-3}}$

2. Определим знак производной. Производная определена при $3x-3 > 0$, то есть на интервале $(1, +\infty)$.

На этом интервале:

- Выражение в знаменателе $2\sqrt{3x-3}$ всегда положительно, так как корень из положительного числа положителен.

- Числитель равен -3, то есть он отрицателен.

Следовательно, значение производной $y'(x)$ всегда отрицательно на интервале $(1, +\infty)$.

3. Поскольку производная $y'(x) < 0$ для всех $x \in (1, +\infty)$, а в точке $x=1$ функция непрерывна, то функция $y = -\sqrt{3x-3}$ убывает на всей своей области определения $[1, +\infty)$.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Утверждение доказано. Функция $y = -\sqrt{3x-3}$ является убывающей на всей своей области определения $[1, +\infty)$.