Номер 1002, страница 342 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1002, страница 342.
№1002 (с. 342)
Условие. №1002 (с. 342)
скриншот условия

1002. Доказать, что функция $y=-\sqrt{3x}-3$ убывает.
Решение 1. №1002 (с. 342)

Решение 2. №1002 (с. 342)

Решение 3. №1002 (с. 342)
Для того чтобы доказать, что функция $y = -\sqrt{3x-3}$ убывает, необходимо показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $y(x_2) < y(x_1)$. Сделаем это двумя способами.
Способ 1: Доказательство по определению убывающей функции
1. Сначала найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$3x - 3 \ge 0$
$3x \ge 3$
$x \ge 1$
Следовательно, область определения функции $D(y)$ — это промежуток $[1, +\infty)$.
2. Теперь возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из области определения $[1, +\infty)$ так, чтобы выполнялось условие $x_2 > x_1$.
3. Преобразуем неравенство $x_2 > x_1$ шаг за шагом:
- Умножим обе части на 3 (знак неравенства не изменится):
$3x_2 > 3x_1$
- Вычтем из обеих частей 3 (знак неравенства не изменится):
$3x_2 - 3 > 3x_1 - 3$
- Так как $x_1 \ge 1$, то обе части неравенства $3x_1 - 3$ и $3x_2 - 3$ неотрицательны. Мы можем извлечь из них квадратный корень. Функция $g(t) = \sqrt{t}$ является возрастающей для неотрицательных $t$, поэтому знак неравенства сохранится:
$\sqrt{3x_2 - 3} > \sqrt{3x_1 - 3}$
- Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$-\sqrt{3x_2 - 3} < -\sqrt{3x_1 - 3}$
4. Мы получили, что $y(x_2) < y(x_1)$. Так как это соотношение выполняется для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения при $x_2 > x_1$, функция $y = -\sqrt{3x-3}$ является убывающей на всей своей области определения.
Способ 2: Доказательство с помощью производной
1. Найдем производную функции. Если производная функции отрицательна на некотором интервале, то функция на этом интервале убывает.
Производная функции $y = -\sqrt{3x-3}$ находится по правилу дифференцирования сложной функции:
$y'(x) = \left(-\sqrt{3x-3}\right)' = \left(-(3x-3)^{\frac{1}{2}}\right)'$
$y'(x) = -\frac{1}{2}(3x-3)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (3x-3)'$
$y'(x) = -\frac{1}{2}(3x-3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3$
$y'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{3x-3}}$
2. Определим знак производной. Производная определена при $3x-3 > 0$, то есть на интервале $(1, +\infty)$.
На этом интервале:
- Выражение в знаменателе $2\sqrt{3x-3}$ всегда положительно, так как корень из положительного числа положителен.
- Числитель равен -3, то есть он отрицателен.
Следовательно, значение производной $y'(x)$ всегда отрицательно на интервале $(1, +\infty)$.
3. Поскольку производная $y'(x) < 0$ для всех $x \in (1, +\infty)$, а в точке $x=1$ функция непрерывна, то функция $y = -\sqrt{3x-3}$ убывает на всей своей области определения $[1, +\infty)$.
Оба способа приводят к одному и тому же выводу.
Ответ: Утверждение доказано. Функция $y = -\sqrt{3x-3}$ является убывающей на всей своей области определения $[1, +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1002 расположенного на странице 342 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1002 (с. 342), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.