Номер 1001, страница 342 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1001, страница 342.

Условие.

1001. Доказать, что функция $y=2x-3$ возрастает.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства того, что функция $y = 2x - 3$ является возрастающей, воспользуемся определением возрастающей функции. Функция $f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Область определения данной функции — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Возьмем два произвольных значения аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения, для которых выполняется условие $x_2 > x_1$.

Найдем значения функции в этих точках:

$y_1 = f(x_1) = 2x_1 - 3$

$y_2 = f(x_2) = 2x_2 - 3$

Теперь сравним значения $y_2$ и $y_1$, вычислив их разность:

$y_2 - y_1 = (2x_2 - 3) - (2x_1 - 3)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y_2 - y_1 = 2x_2 - 3 - 2x_1 + 3 = 2x_2 - 2x_1$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$y_2 - y_1 = 2(x_2 - x_1)$

Согласно нашему первоначальному условию, $x_2 > x_1$, следовательно, разность $(x_2 - x_1)$ является положительным числом, то есть $(x_2 - x_1) > 0$.

Произведение положительного числа 2 на положительное число $(x_2 - x_1)$ также является положительным:

$2(x_2 - x_1) > 0$

Из этого следует, что разность $y_2 - y_1 > 0$, что эквивалентно неравенству $y_2 > y_1$.

Таким образом, мы доказали, что для любых $x_2 > x_1$ выполняется $f(x_2) > f(x_1)$. Это означает, что функция $y = 2x - 3$ является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: Утверждение доказано: функция $y = 2x - 3$ является возрастающей.