Номер 998, страница 342 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 998, страница 342.

Условие.

998. Линейная функция задана формулой $y = -\frac{3}{4}x + 2$. Найти:

1) точки A и B пересечения графика этой функции с осями координат;

2) длину отрезка AB;

3) расстояние от начала координат до прямой $y = -\frac{3}{4}x + 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) точки А и В пересечения графика этой функции с осями координат;

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, нужно поочередно приравнять к нулю каждую из координат ($x$ и $y$).

Найдем точку пересечения с осью ординат (осью $Oy$). В этой точке координата $x$ равна 0. Подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = -\frac{3}{4} \cdot 0 + 2 = 2$

Следовательно, точка пересечения с осью $Oy$ — это точка $A(0; 2)$.

Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$). В этой точке координата $y$ равна 0. Подставим $y=0$ в уравнение функции:

$0 = -\frac{3}{4}x + 2$

Перенесем член с $x$ в левую часть:

$\frac{3}{4}x = 2$

Теперь найдем $x$:

$x = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

Следовательно, точка пересечения с осью $Ox$ — это точка $B(\frac{8}{3}; 0)$.

Ответ: Точки пересечения с осями координат: $A(0; 2)$ и $B(\frac{8}{3}; 0)$.

2) длину отрезка АВ;

Для нахождения длины отрезка $AB$ воспользуемся формулой расстояния между двумя точками с координатами $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты точек $A(0; 2)$ и $B(\frac{8}{3}; 0)$:

$AB = \sqrt{(\frac{8}{3} - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(\frac{8}{3})^2 + (-2)^2}$

$AB = \sqrt{\frac{64}{9} + 4} = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{36}{9}} = \sqrt{\frac{100}{9}}$

$AB = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{9}} = \frac{10}{3}$

Ответ: Длина отрезка $AB$ равна $\frac{10}{3}$.

3) расстояние от начала координат до прямой $y = -\frac{3}{4}x + 2$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAB$, где $O(0;0)$ — начало координат, а точки $A(0;2)$ и $B(\frac{8}{3};0)$ лежат на осях координат.

Катеты этого треугольника — это отрезки $OA$ и $OB$. Их длины равны соответствующим ненулевым координатам точек $A$ и $B$:

$OA = 2$

$OB = \frac{8}{3}$

Гипотенуза — это отрезок $AB$, длину которого мы нашли в предыдущем пункте: $AB = \frac{10}{3}$.

Искомое расстояние от начала координат до прямой $y = -\frac{3}{4}x + 2$ (которая проходит через точки A и B) является высотой $h$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AB$.

Площадь треугольника $OAB$ можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{3}$.

2. Через гипотенузу и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{3} \cdot h$.

Приравняем оба выражения для площади:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{10}{3} \cdot h = \frac{8}{3}$

$\frac{5}{3}h = \frac{8}{3}$

Умножим обе части на 3:

$5h = 8$

$h = \frac{8}{5} = 1.6$

Ответ: Расстояние от начала координат до прямой равно $\frac{8}{5}$ или 1.6.