Номер 1004, страница 342 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1004, страница 342.

Условие.

1004. Построить график функции:

1) $y = 2 - |x|$;

2) $y = |2 - x|$;

3) $y = |2 - x| + |x - 3|$.

Выяснить, пересекает ли график каждой из данных функций прямую $y = 3$. В случае утвердительного ответа найти координаты точек пересечения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Рассмотрим функцию $y = 2 - |x|$.

Для построения графика этой функции воспользуемся преобразованиями графика базовой функции $y = |x|$.
1. График $y = |x|$ представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх.
2. График $y = -|x|$ получается из графика $y = |x|$ симметричным отражением относительно оси Ox. Это будет "галочка", перевернутая вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$.
3. График $y = 2 - |x|$ (или $y = -|x| + 2$) получается из графика $y = -|x|$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Таким образом, искомый график — это перевернутая "галочка" с вершиной в точке $(0, 2)$. Также можно раскрыть модуль: $y = \begin{cases} 2 - x, & \text{если } x \ge 0 \\ 2 + x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Теперь выясним, пересекает ли этот график прямую $y = 3$. Для этого решим уравнение $2 - |x| = 3$.
$-|x| = 3 - 2$
$-|x| = 1$
$|x| = -1$
Это уравнение не имеет решений, так как модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной. Следовательно, график функции $y = 2 - |x|$ не пересекает прямую $y = 3$. Это также видно из графика: максимальное значение функции достигается в ее вершине и равно 2, поэтому функция не может принимать значение 3.

Ответ: График не пересекает прямую $y=3$.

2)

Рассмотрим функцию $y = |2 - x|$.

Учитывая свойство модуля $|a-b|=|b-a|$, можем записать функцию как $y = |x - 2|$.
График этой функции получается из графика базовой функции $y = |x|$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина "галочки" будет находиться в точке $(2, 0)$, а ветви будут направлены вверх.
Также можно раскрыть модуль: $y = \begin{cases} 2 - x, & \text{если } 2 - x \ge 0 \implies x \le 2 \\ -(2 - x) = x - 2, & \text{если } 2 - x < 0 \implies x > 2 \end{cases}$

Выясним, пересекает ли график прямую $y = 3$. Для этого решим уравнение $|2 - x| = 3$.
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) $2 - x = 3 \implies -x = 1 \implies x = -1$
2) $2 - x = -3 \implies -x = -5 \implies x = 5$
Мы получили два значения $x$. Это абсциссы точек пересечения. Ордината в обоих случаях равна 3. Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(-1, 3)$ и $(5, 3)$.

Ответ: График пересекает прямую $y=3$ в точках с координатами $(-1, 3)$ и $(5, 3)$.

3)

Рассмотрим функцию $y = |2 - x| + |x - 3|$.

Для построения графика раскроем модули. Выражения под модулями обращаются в ноль при $x = 2$ и $x = 3$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала, на каждом из которых мы раскроем модули.
1. При $x < 2$: Оба выражения $2-x$ и $3-x$ положительны. Так как $x-3$ отрицательно, то $|x-3|=-(x-3)=3-x$. Функция принимает вид: $y = (2 - x) + (3 - x) = 5 - 2x$.
2. При $2 \le x < 3$: Выражение $2-x$ неположительно, а $x-3$ отрицательно. Функция принимает вид: $y = -(2 - x) + (-(x - 3)) = (x - 2) + (3 - x) = 1$.
3. При $x \ge 3$: Выражение $2-x$ отрицательно, а $x-3$ неотрицательно. Функция принимает вид: $y = -(2 - x) + (x - 3) = (x - 2) + (x - 3) = 2x - 5$.
Итак, функция задается кусочно: $y = \begin{cases} 5 - 2x, & \text{если } x < 2 \\ 1, & \text{если } 2 \le x < 3 \\ 2x - 5, & \text{если } x \ge 3 \end{cases}$
График состоит из луча прямой $y=5-2x$ до точки $(2, 1)$, горизонтального отрезка $y=1$ между точками $(2, 1)$ и $(3, 1)$, и луча прямой $y=2x-5$ от точки $(3, 1)$ и далее.

Теперь найдем точки пересечения с прямой $y=3$. Решим уравнение $y=3$ для каждого из трех интервалов.
1. При $x < 2$: $5 - 2x = 3 \implies 2x = 2 \implies x = 1$. Условие $x < 2$ выполняется.
2. При $2 \le x < 3$: $1 = 3$. Решений в этом интервале нет.
3. При $x \ge 3$: $2x - 5 = 3 \implies 2x = 8 \implies x = 4$. Условие $x \ge 3$ выполняется.
Таким образом, мы нашли две точки пересечения. Для $x=1$ $y=3$, и для $x=4$ $y=3$. Координаты точек: $(1, 3)$ и $(4, 3)$.

Ответ: График пересекает прямую $y=3$ в точках с координатами $(1, 3)$ и $(4, 3)$.