Номер 1011, страница 344 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1011, страница 344.

Условие.

1011. Построить график и выяснить, является ли ограниченной функция:

1) $y=\begin{cases} 2x-x^2 & \text{при } x \leq 1, \\ 2-x & \text{при } x > 1; \end{cases}$

2) $y=\begin{cases} x^2+2x+2 & \text{при } x < 1, \\ \sqrt{x} & \text{при } x \geq 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \begin{cases} 2x - x^2 & \text{при } x \le 1, \\ 2 - x & \text{при } x > 1. \end{cases}$

Построение графика:

График данной функции состоит из двух частей.

Первая часть, при $x \le 1$, задается функцией $y = 2x - x^2$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Для удобства построения преобразуем выражение, выделив полный квадрат: $y = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -(x-1)^2 + 1$.
Из этого вида видно, что это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(1, 1)$.
Найдем несколько точек для этой части графика:

• При $x=1$, $y = -(1-1)^2 + 1 = 1$. (Вершина)
• При $x=0$, $y = -(0-1)^2 + 1 = 0$.
• При $x=-1$, $y = -(-1-1)^2 + 1 = -4 + 1 = -3$.

Вторая часть, при $x > 1$, задается функцией $y = 2 - x$. Это линейная функция, графиком которой является прямая.

• Найдем предел функции при $x$, стремящемся к 1 справа: $\lim_{x \to 1^+} (2-x) = 2-1 = 1$. Это означает, что вторая часть графика "начинается" в той же точке, где "заканчивается" первая, т.е. в точке $(1, 1)$. Таким образом, функция непрерывна.
• При $x=2$, $y = 2-2 = 0$.
• При $x=3$, $y = 2-3 = -1$.

График представляет собой левую ветвь параболы с вершиной в $(1,1)$ и луч, выходящий из этой же точки и идущий вниз-вправо.

Выяснение ограниченности:

Функция является ограниченной, если ее область значений ограничена как сверху, так и снизу. Иными словами, если существуют такие числа $m$ и $M$, что $m \le y(x) \le M$ для всех $x$ из области определения.

Рассмотрим область значений функции. На промежутке $x \le 1$ функция $y = -(x-1)^2 + 1$ имеет максимальное значение в вершине, равное 1. При $x \to -\infty$, $y \to -\infty$. Таким образом, на этом промежутке область значений: $(-\infty, 1]$.

На промежутке $x > 1$ функция $y = 2-x$ убывает. При $x \to 1^+$, $y \to 1$. При $x \to +\infty$, $y \to -\infty$. Область значений на этом промежутке: $(-\infty, 1)$.

Объединяя области значений для обеих частей, получаем полную область значений функции: $(-\infty, 1] \cup (-\infty, 1) = (-\infty, 1]$.

Функция ограничена сверху числом 1, так как для любого $x$ выполняется $y(x) \le 1$. Однако функция не ограничена снизу, так как ее значения могут быть сколь угодно малыми (стремятся к $-\infty$).

Поскольку функция не ограничена снизу, она не является ограниченной.

Ответ: Функция не является ограниченной.

---

2) $y = \begin{cases} x^2 + 2x + 2 & \text{при } x < 1, \\ \sqrt{x} & \text{при } x \ge 1. \end{cases}$

Построение графика:

График данной функции также состоит из двух частей.

Первая часть, при $x < 1$, задается функцией $y = x^2 + 2x + 2$. Преобразуем выражение, выделив полный квадрат: $y = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x+1)^2 + 1$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(-1, 1)$.
Найдем несколько точек:

• При $x=-1$, $y = (-1+1)^2 + 1 = 1$. (Вершина)
• При $x=0$, $y = (0+1)^2 + 1 = 2$.
• Найдем предельное значение при $x \to 1^-$: $\lim_{x \to 1^-} (x^2+2x+2) = 1+2+2=5$. Точка $(1, 5)$ является "концом" этой части графика и будет выколотой.

Вторая часть, при $x \ge 1$, задается функцией $y = \sqrt{x}$. Это стандартная функция квадратного корня.
Найдем несколько точек:

• При $x=1$, $y = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит графику.
• При $x=4$, $y = \sqrt{4} = 2$.

В точке $x=1$ функция имеет разрыв (скачок): слева она стремится к 5, а справа ее значение равно 1.

Выяснение ограниченности:

Найдем область значений функции.

На промежутке $x < 1$ функция $y = (x+1)^2 + 1$ имеет минимальное значение в вершине $(-1, 1)$, равное 1. При $x \to -\infty$, $y \to +\infty$. На этом промежутке функция принимает все значения из $[1, \infty)$.

На промежутке $x \ge 1$ функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей. Ее минимальное значение на этом промежутке достигается при $x=1$ и равно $\sqrt{1} = 1$. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. Область значений на этом промежутке: $[1, \infty)$.

Полная область значений функции есть объединение $[1, \infty) \cup [1, \infty) = [1, \infty)$.

Функция ограничена снизу числом 1, так как для любого $x$ выполняется $y(x) \ge 1$. Однако функция не ограничена сверху, так как ее значения стремятся к $+\infty$ при $x \to \pm\infty$.

Поскольку функция не ограничена сверху, она не является ограниченной.

Ответ: Функция не является ограниченной.