Номер 1014, страница 344 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1014, страница 344.

Условие.

1014. Исследовать на чётность и нечётность функцию:

1) $y = 2x^2 - 1$;

2) $y = x - x^3$;

3) $y = x^5 - \frac{1}{x}$;

4) $y = \frac{\sin x}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для исследования функции $y(x)$ на чётность или нечётность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(y)$ должна быть симметричной относительно начала координат, то есть для любого $x$ из $D(y)$ значение $-x$ также должно принадлежать $D(y)$.
2. Нужно найти значение $y(-x)$ и сравнить его с $y(x)$:
   • Если $y(-x) = y(x)$ для всех $x \in D(y)$, то функция является чётной.
   • Если $y(-x) = -y(x)$ для всех $x \in D(y)$, то функция является нечётной.
   • Если не выполняется ни одно из этих условий (или область определения несимметрична), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

1) $y = 2x^2 - 1$

Обозначим функцию как $y(x) = 2x^2 - 1$.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Найдем значение функции от $-x$:
$y(-x) = 2(-x)^2 - 1 = 2x^2 - 1$.
3. Сравним $y(-x)$ и $y(x)$:
$y(-x) = 2x^2 - 1 = y(x)$.
Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2) $y = x - x^3$

Обозначим функцию как $y(x) = x - x^3$.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область симметрична.
2. Найдем значение функции от $-x$:
$y(-x) = (-x) - (-x)^3 = -x - (-x^3) = -x + x^3 = -(x - x^3)$.
3. Сравним $y(-x)$ и $y(x)$:
$y(-x) = -(x - x^3) = -y(x)$.
Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

3) $y = x^5 - \frac{1}{x}$

Обозначим функцию как $y(x) = x^5 - \frac{1}{x}$.
1. Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Найдем значение функции от $-x$:
$y(-x) = (-x)^5 - \frac{1}{(-x)} = -x^5 - (-\frac{1}{x}) = -x^5 + \frac{1}{x} = -(x^5 - \frac{1}{x})$.
3. Сравним $y(-x)$ и $y(x)$:
$y(-x) = -(x^5 - \frac{1}{x}) = -y(x)$.
Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

4) $y = \frac{\sin x}{x}$

Обозначим функцию как $y(x) = \frac{\sin x}{x}$.
1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична.
2. Найдем значение функции от $-x$. Вспомним, что синус — нечётная функция, то есть $\sin(-x) = -\sin x$.
$y(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x}$.
3. Сравним $y(-x)$ и $y(x)$:
$y(-x) = \frac{\sin x}{x} = y(x)$.
Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.