Номер 1017, страница 344 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1017, страница 344.
№1017 (с. 344)
Условие. №1017 (с. 344)
скриншот условия

1017. Выяснить, является ли периодической функция:
1) $y = 2^{5x-1}$;
2) $y = 2\sqrt{\cos^2 x - 1}$
Решение 1. №1017 (с. 344)


Решение 2. №1017 (с. 344)

Решение 3. №1017 (с. 344)
1) $y = 2^{5x-1}$
Для того чтобы функция была периодической, должно существовать такое число $T \ne 0$ (период), что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $y(x+T) = y(x)$.
Область определения данной функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
Предположим, что функция является периодической с периодом $T$. Тогда должно выполняться равенство:
$2^{5(x+T)-1} = 2^{5x-1}$
Так как основания степеней равны, то должны быть равны и показатели:
$5(x+T) - 1 = 5x - 1$
$5x + 5T - 1 = 5x - 1$
$5T = 0$
$T = 0$
Единственное значение $T$, удовлетворяющее этому условию, — это $T=0$. Однако, по определению, период должен быть числом, не равным нулю. Следовательно, не существует ненулевого периода $T$.
Другой способ рассуждения: функция $y = 2^{5x-1} = \frac{1}{2} \cdot (2^5)^x = \frac{1}{2} \cdot 32^x$ является показательной с основанием $32 > 1$. Такая функция строго монотонно возрастает на всей своей области определения. Строго монотонная функция не может быть периодической, так как она никогда не принимает одно и то же значение более одного раза.
Ответ: функция не является периодической.
2) $y = 2\sqrt{\cos^2 x - 1}$
Найдем область определения данной функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\cos^2 x - 1 \ge 0$
Мы знаем, что для любого действительного $x$ значение косинуса лежит в пределах $-1 \le \cos x \le 1$. Следовательно, $0 \le \cos^2 x \le 1$.
Из этого следует, что выражение $\cos^2 x - 1$ всегда меньше или равно нулю ($\cos^2 x - 1 \le 0$).
Таким образом, неравенство $\cos^2 x - 1 \ge 0$ выполняется только в одном случае, когда $\cos^2 x - 1 = 0$.
$\cos^2 x = 1$
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$\cos x = 1$ или $\cos x = -1$.
Решениями этих уравнений являются:
$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (для $\cos x = 1$)
$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (для $\cos x = -1$)
Объединяя эти два множества решений, получаем, что область определения функции состоит из точек $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Для всех $x$ из области определения, подкоренное выражение равно нулю. Таким образом, значение функции в этих точках равно:
$y = 2\sqrt{0} = 0$
Итак, функция определена только в точках вида $x = k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) и в этих точках принимает значение 0.
Проверим, является ли эта функция периодической. По определению, функция $y(x)$ является периодической, если существует такое $T \ne 0$, что для любого $x$ из области определения $x+T$ также принадлежит области определения и $y(x+T) = y(x)$.
Возьмем в качестве возможного периода $T = \pi$. Если $x$ принадлежит области определения, то $x = k\pi$ для некоторого целого $k$. Тогда $x+T = k\pi + \pi = (k+1)\pi$. Так как $k+1$ тоже целое число, точка $x+T$ также принадлежит области определения. Проверим значения функции: $y(x) = y(k\pi) = 0$ $y(x+T) = y((k+1)\pi) = 0$ Следовательно, $y(x+T) = y(x)$.
Так как мы нашли ненулевое число $T=\pi$, удовлетворяющее условию периодичности, функция является периодической. Наименьший положительный период равен $\pi$.
Ответ: функция является периодической с основным периодом $T = \pi$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1017 расположенного на странице 344 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1017 (с. 344), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.