Номер 1017, страница 344 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1017, страница 344.

Условие.

1017. Выяснить, является ли периодической функция:

1) $y = 2^{5x-1}$;

2) $y = 2\sqrt{\cos^2 x - 1}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = 2^{5x-1}$

Для того чтобы функция была периодической, должно существовать такое число $T \ne 0$ (период), что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $y(x+T) = y(x)$.

Область определения данной функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Предположим, что функция является периодической с периодом $T$. Тогда должно выполняться равенство:

$2^{5(x+T)-1} = 2^{5x-1}$

Так как основания степеней равны, то должны быть равны и показатели:

$5(x+T) - 1 = 5x - 1$

$5x + 5T - 1 = 5x - 1$

$5T = 0$

$T = 0$

Единственное значение $T$, удовлетворяющее этому условию, — это $T=0$. Однако, по определению, период должен быть числом, не равным нулю. Следовательно, не существует ненулевого периода $T$.

Другой способ рассуждения: функция $y = 2^{5x-1} = \frac{1}{2} \cdot (2^5)^x = \frac{1}{2} \cdot 32^x$ является показательной с основанием $32 > 1$. Такая функция строго монотонно возрастает на всей своей области определения. Строго монотонная функция не может быть периодической, так как она никогда не принимает одно и то же значение более одного раза.

Ответ: функция не является периодической.

2) $y = 2\sqrt{\cos^2 x - 1}$

Найдем область определения данной функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$\cos^2 x - 1 \ge 0$

Мы знаем, что для любого действительного $x$ значение косинуса лежит в пределах $-1 \le \cos x \le 1$. Следовательно, $0 \le \cos^2 x \le 1$.

Из этого следует, что выражение $\cos^2 x - 1$ всегда меньше или равно нулю ($\cos^2 x - 1 \le 0$).

Таким образом, неравенство $\cos^2 x - 1 \ge 0$ выполняется только в одном случае, когда $\cos^2 x - 1 = 0$.

$\cos^2 x = 1$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\cos x = 1$ или $\cos x = -1$.

Решениями этих уравнений являются:

$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (для $\cos x = 1$)

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (для $\cos x = -1$)

Объединяя эти два множества решений, получаем, что область определения функции состоит из точек $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Для всех $x$ из области определения, подкоренное выражение равно нулю. Таким образом, значение функции в этих точках равно:

$y = 2\sqrt{0} = 0$

Итак, функция определена только в точках вида $x = k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) и в этих точках принимает значение 0.

Проверим, является ли эта функция периодической. По определению, функция $y(x)$ является периодической, если существует такое $T \ne 0$, что для любого $x$ из области определения $x+T$ также принадлежит области определения и $y(x+T) = y(x)$.

Возьмем в качестве возможного периода $T = \pi$. Если $x$ принадлежит области определения, то $x = k\pi$ для некоторого целого $k$. Тогда $x+T = k\pi + \pi = (k+1)\pi$. Так как $k+1$ тоже целое число, точка $x+T$ также принадлежит области определения. Проверим значения функции: $y(x) = y(k\pi) = 0$ $y(x+T) = y((k+1)\pi) = 0$ Следовательно, $y(x+T) = y(x)$.

Так как мы нашли ненулевое число $T=\pi$, удовлетворяющее условию периодичности, функция является периодической. Наименьший положительный период равен $\pi$.

Ответ: функция является периодической с основным периодом $T = \pi$.