Номер 1012, страница 344 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1012, страница 344.

Условие.

1012. Построить график и выяснить, является ли непрерывной функция:

1) $y=\begin{cases} \log_2 (x-1) \text{ при } x \le 1, \\ \sqrt{x-1} \text{ при } x > 1; \end{cases}$

2) $y=\begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^x - 2 \text{ при } x < 1, \\ \sqrt{x-1} \text{ при } x \ge 1; \end{cases}$

3) $y=\begin{cases} |x^2 - 1| \text{ при } x < 1, \\ |\log_2 x| \text{ при } x \ge 1; \end{cases}$

4) $y=\begin{cases} |3^x - 1| \text{ при } x < 0, \\ \sqrt{x-1} \text{ при } x \ge 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \begin{cases} \log_2(x-1) & \text{при } x \le 1, \\ \sqrt{x-1} & \text{при } x > 1 \end{cases}$

Для построения графика и анализа функции на непрерывность рассмотрим каждую ее часть отдельно.

Первая часть функции: $y = \log_2(x-1)$ при $x \le 1$. Область определения логарифмической функции требует, чтобы ее аргумент был строго положителен. В данном случае, $x - 1 > 0$, что означает $x > 1$. Однако, эта часть функции задана на промежутке $x \le 1$. Поскольку нет таких значений $x$, которые одновременно удовлетворяли бы условиям $x > 1$ и $x \le 1$, эта часть функции не определена ни для одного значения $x$. Таким образом, на промежутке $(-\infty, 1]$ графика нет.

Вторая часть функции: $y = \sqrt{x-1}$ при $x > 1$. Эта часть функции определена, так как для $x > 1$ подкоренное выражение $x-1$ положительно. График этой функции — это ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox, смещенная на 1 единицу вправо по оси Ox. Найдем несколько точек для построения:

• При $x$, стремящемся к 1 справа ($x \to 1^+$), $y$ стремится к $\sqrt{1-1} = 0$. Точка $(1, 0)$ является началом графика, но не включается в него (выколотая точка).
• При $x = 2$, $y = \sqrt{2-1} = 1$.
• При $x = 5$, $y = \sqrt{5-1} = 2$.

График представляет собой кривую, выходящую из точки $(1, 0)$ и возрастающую вправо.

Непрерывность: Область определения всей функции — это $(1, \infty)$. Функция не определена при $x=1$ и при $x<1$. Функция является непрерывной в точке $a$, если существует предел функции в этой точке, и он равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. В точке $x=1$ функция не определена, поэтому условие непрерывности не выполняется. Левосторонний предел $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ не существует, так как функция не определена слева от 1. Следовательно, функция имеет разрыв в точке $x=1$.

Ответ: График функции существует только для $x > 1$ и представляет собой график $y=\sqrt{x-1}$. Функция не является непрерывной, так как имеет разрыв в точке $x=1$.

2) $y = \begin{cases} (\frac{1}{2})^x - 2 & \text{при } x < 1, \\ \sqrt{x-1} & \text{при } x \ge 1 \end{cases}$

Первая часть функции: $y = (\frac{1}{2})^x - 2$ при $x < 1$. Это график показательной функции $y = (\frac{1}{2})^x$ (основание меньше 1, функция убывающая), смещенный на 2 единицы вниз по оси Oy. Горизонтальная асимптота $y = -2$. Найдем несколько точек:

• При $x = 0$, $y = (\frac{1}{2})^0 - 2 = 1 - 2 = -1$.
• При $x = -1$, $y = (\frac{1}{2})^{-1} - 2 = 2 - 2 = 0$.

На границе интервала, при $x \to 1^-$, значение функции стремится к $(\frac{1}{2})^1 - 2 = 0.5 - 2 = -1.5$. В точке $(1, -1.5)$ будет выколотая точка.

Вторая часть функции: $y = \sqrt{x-1}$ при $x \ge 1$. Это график функции корня, смещенный на 1 единицу вправо по оси Ox. На границе интервала, при $x = 1$, $y = \sqrt{1-1} = 0$. Точка $(1, 0)$ принадлежит графику. Другие точки: при $x=2$, $y=1$; при $x=5$, $y=2$.

Непрерывность: Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=1$.

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} ((\frac{1}{2})^x - 2) = -1.5$.
• Значение функции в точке: $f(1) = \sqrt{1-1} = 0$.

Поскольку левосторонний предел не равен значению функции в точке ($\lim_{x \to 1^-} f(x) \ne f(1)$), функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=1$.

Ответ: Функция не является непрерывной, так как в точке $x=1$ имеет место разрыв первого рода (скачок).

3) $y = \begin{cases} |x^2 - 1| & \text{при } x < 1, \\ |\log_2 x| & \text{при } x \ge 1 \end{cases}$

Первая часть функции: $y = |x^2 - 1|$ при $x < 1$. График этой функции получается из параболы $y = x^2 - 1$ (вершина в $(0, -1)$, ветви вверх, пересекает ось Ox в точках $x=-1$ и $x=1$) путем отражения части графика, лежащей ниже оси Ox, симметрично относительно оси Ox. Для $x < 1$, это означает:

• При $x \le -1$, $x^2-1 \ge 0$, поэтому $|x^2-1| = x^2-1$.
• При $-1 < x < 1$, $x^2-1 < 0$, поэтому $|x^2-1| = -(x^2-1) = 1-x^2$.

На границе интервала, при $x \to 1^-$, значение функции стремится к $|1^2 - 1| = 0$.

Вторая часть функции: $y = |\log_2 x|$ при $x \ge 1$. Для всех $x \ge 1$, значение $\log_2 x \ge \log_2 1 = 0$. Следовательно, на этом промежутке $|\log_2 x| = \log_2 x$. График этой функции — стандартный график логарифмической функции с основанием 2. На границе интервала, при $x=1$, $y = \log_2 1 = 0$. Точка $(1, 0)$ принадлежит графику. Другие точки: при $x=2$, $y=1$; при $x=4$, $y=2$.

Непрерывность: Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=1$.

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} |x^2 - 1| = |1^2 - 1| = 0$.
• Значение функции в точке: $f(1) = |\log_2 1| = 0$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} |\log_2 x| = |\log_2 1| = 0$.

Поскольку $\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$, функция непрерывна в точке $x=1$. Так как обе части функции непрерывны на своих интервалах определения, то и вся функция является непрерывной.

Ответ: Функция является непрерывной на всей своей области определения.

4) $y = \begin{cases} |3^x - 1| & \text{при } x < 0, \\ \sqrt{x} - 1 & \text{при } x \ge 0 \end{cases}$

Первая часть функции: $y = |3^x - 1|$ при $x < 0$. При $x < 0$, имеем $0 < 3^x < 1$, следовательно $3^x - 1 < 0$. Поэтому на данном интервале $|3^x - 1| = -(3^x - 1) = 1 - 3^x$. График этой функции — это график показательной функции $y = -3^x$, смещенный на 1 единицу вверх. Горизонтальная асимптота $y=1$. На границе интервала, при $x \to 0^-$, значение функции стремится к $1 - 3^0 = 1 - 1 = 0$. В точке $(0, 0)$ будет выколотая точка.

Вторая часть функции: $y = \sqrt{x} - 1$ при $x \ge 0$. Это график функции корня $y = \sqrt{x}$, смещенный на 1 единицу вниз по оси Oy. На границе интервала, при $x=0$, $y = \sqrt{0} - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$ принадлежит графику. Другие точки: при $x=1$, $y=0$; при $x=4$, $y=1$.

Непрерывность: Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=0$.

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} |3^x - 1| = |3^0 - 1| = 0$.
• Значение функции в точке: $f(0) = \sqrt{0} - 1 = -1$.

Поскольку левосторонний предел не равен значению функции в точке ($\lim_{x \to 0^-} f(x) \ne f(0)$), функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=0$.

Ответ: Функция не является непрерывной, так как в точке $x=0$ имеет место разрыв первого рода (скачок).