Номер 1006, страница 343 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1006, страница 343.

Условие.

1006. Дана функция $y = -2x^2 + 3x + 2$.

1) Построить её график и найти значения $x$, при которых $y(x)<0$.

2) Доказать, что функция убывает на промежутке $[1; 2]$.

3) Найти значение $x$, при котором функция принимает наибольшее значение.

4) Найти значения $x$, при которых график данной функции лежит ниже графика функции $y=3x+2$.

5) Записать уравнения касательных к параболе $y = -2x^2 + 3x + 2$ в точках с ординатой, равной 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Построить её график и найти значения x, при которых y(x) < 0.

Дана функция $y = -2x^2 + 3x + 2$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -2 < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдём его ключевые точки:

- Вершина параболы. Координата $x$ вершины находится по формуле $x_в = -b / (2a)$.
$x_в = -3 / (2 \cdot (-2)) = -3 / (-4) = 3/4 = 0.75$.
Координата $y$ вершины:
$y_в = -2(3/4)^2 + 3(3/4) + 2 = -2(9/16) + 9/4 + 2 = -9/8 + 18/8 + 16/8 = 25/8 = 3.125$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3/4, 25/8)$.

- Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = -2(0)^2 + 3(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$-2x^2 + 3x + 2 = 0$
$2x^2 - 3x - 2 = 0$
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
$x_{1,2} = (3 \pm \sqrt{25}) / (2 \cdot 2) = (3 \pm 5) / 4$.
$x_1 = (3 - 5) / 4 = -2/4 = -1/2$.
$x_2 = (3 + 5) / 4 = 8/4 = 2$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-1/2, 0)$ и $(2, 0)$.

Используя эти точки (вершина $(0.75, 3.125)$, пересечение с Oy $(0, 2)$, пересечения с Ox $(-0.5, 0)$ и $(2, 0)$), можно построить параболу.

Теперь найдем значения $x$, при которых $y(x) < 0$. Это соответствует участкам графика, где парабола находится ниже оси Ox. Так как ветви параболы направлены вниз, это будет происходить за пределами корней.
$-2x^2 + 3x + 2 < 0$
Корни уравнения $-2x^2 + 3x + 2 = 0$ мы уже нашли: $x_1 = -1/2$ и $x_2 = 2$.
Следовательно, неравенство выполняется при $x < -1/2$ или $x > 2$.

Ответ: график функции — парабола с вершиной в точке $(3/4, 25/8)$, ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $(-1/2, 0)$ и $(2, 0)$, и ось Oy в точке $(0, 2)$. Функция $y(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -1/2) \cup (2, \infty)$.

2) Доказать, что функция убывает на промежутке [1; 2].

Для определения промежутков возрастания и убывания функции найдем её производную:
$y' = (-2x^2 + 3x + 2)' = -4x + 3$.
Функция убывает, когда её производная отрицательна, то есть $y' < 0$.
$-4x + 3 < 0$
$-4x < -3$
$4x > 3$
$x > 3/4$.
Таким образом, функция убывает на промежутке $(3/4, +\infty)$.
Рассмотрим заданный промежуток $[1, 2]$. Так как $[1, 2]$ является подмножеством промежутка $(3/4, +\infty)$ (поскольку $1 > 3/4$), то на всем промежутке $[1, 2]$ функция убывает, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, так как производная $y' = -4x + 3$ отрицательна для всех $x > 3/4$, а промежуток $[1; 2]$ входит в эту область.

3) Найти значение x, при котором функция принимает наибольшее значение.

Функция $y = -2x^2 + 3x + 2$ является параболой с ветвями, направленными вниз. Следовательно, своё наибольшее значение она принимает в вершине.
Координата $x$ вершины параболы вычисляется по формуле $x_в = -b / (2a)$.
$x_в = -3 / (2 \cdot (-2)) = 3/4$.
При этом значении $x$ функция достигает своего максимума.

Ответ: $x = 3/4$.

4) Найти значения x, при которых график данной функции лежит ниже графика функции y = 3x + 2.

Условие "график данной функции лежит ниже графика функции $y = 3x + 2$" математически записывается в виде неравенства:
$-2x^2 + 3x + 2 < 3x + 2$
Перенесём все члены в левую часть:
$-2x^2 + 3x - 3x + 2 - 2 < 0$
$-2x^2 < 0$
Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Равенство нулю достигается только при $x=0$. Следовательно, неравенство $x^2 > 0$ справедливо для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

5) Записать уравнения касательных к параболе y = -2x^2 + 3x + 2 в точках с ординатой, равной 3.

Сначала найдём абсциссы точек параболы, в которых ордината $y=3$:
$-2x^2 + 3x + 2 = 3$
$-2x^2 + 3x - 1 = 0$
$2x^2 - 3x + 1 = 0$
Найдём корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
$x_{1,2} = (3 \pm \sqrt{1}) / (2 \cdot 2) = (3 \pm 1) / 4$.
$x_1 = (3 - 1) / 4 = 2/4 = 1/2$.
$x_2 = (3 + 1) / 4 = 4/4 = 1$.
Таким образом, у нас есть две точки касания: $(1/2, 3)$ и $(1, 3)$.

Уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$.
Производная функции: $f'(x) = y' = -4x + 3$.

- Касательная в точке $(1/2, 3)$.
Найдём значение производной (угловой коэффициент касательной) в точке $x_0 = 1/2$:
$f'(1/2) = -4(1/2) + 3 = -2 + 3 = 1$.
Уравнение касательной:
$y = 1 \cdot (x - 1/2) + 3$
$y = x - 1/2 + 3$
$y = x + 5/2$.

- Касательная в точке $(1, 3)$.
Найдём значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = -4(1) + 3 = -1$.
Уравнение касательной:
$y = -1 \cdot (x - 1) + 3$
$y = -x + 1 + 3$
$y = -x + 4$.

Ответ: $y = x + 5/2$ и $y = -x + 4$.