Номер 1003, страница 342 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1003, страница 342.

Условие.

1003. Выяснить, пересекаются ли графики функций:

1) $y=3x-2$ и $y=3x+1$;

2) $y=3x-2$ и $y=5x+1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = 3x - 2$ и $y = 3x + 1$

Чтобы определить, пересекаются ли графики двух линейных функций, можно сравнить их угловые коэффициенты и свободные члены. Общий вид линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – свободный член (точка пересечения с осью $y$).

Для первой функции $y = 3x - 2$, угловой коэффициент $k_1 = 3$, а свободный член $b_1 = -2$.

Для второй функции $y = 3x + 1$, угловой коэффициент $k_2 = 3$, а свободный член $b_2 = 1$.

Мы видим, что угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2 = 3$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$). Это является условием того, что прямые параллельны и не совпадают. Параллельные прямые не имеют общих точек.

Алгебраически, если бы графики пересекались, то нашлась бы такая точка $(x, y)$, которая удовлетворяла бы обоим уравнениям. Приравняем правые части уравнений:

$3x - 2 = 3x + 1$

$3x - 3x = 1 + 2$

$0 = 3$

Полученное равенство является ложным, что означает, что система уравнений не имеет решений. Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: графики функций не пересекаются.

2) $y = 3x - 2$ и $y = 5x + 1$

Сравним угловые коэффициенты данных функций.

Для функции $y = 3x - 2$ угловой коэффициент $k_1 = 3$.

Для функции $y = 5x + 1$ угловой коэффициент $k_2 = 5$.

Так как угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), прямые не параллельны и, следовательно, пересекаются в одной точке. Чтобы найти эту точку, приравняем правые части уравнений:

$3x - 2 = 5x + 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$-2 - 1 = 5x - 3x$

$-3 = 2x$

$x = -\frac{3}{2} = -1.5$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:

$y = 3x - 2 = 3 \cdot (-1.5) - 2 = -4.5 - 2 = -6.5$

Таким образом, графики функций пересекаются в точке с координатами $(-1.5; -6.5)$.

Ответ: графики функций пересекаются.