Номер 1009, страница 344 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1009, страница 344.

Условие.

1009. Сигнал с корабля можно различить в море на расстоянии одной мили. Корабль А идёт на юг, делая 3 мили в час, и в настоящее время находится в 5 милях к западу от корабля В, который идёт на запад со скоростью 4 мили в час. Будут ли корабли на расстоянии, достаточном для приёма сигнала?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть в начальный момент времени $t=0$ корабль B находится в начале координат $B(0, 0)$. Согласно условию, корабль A в этот момент находится в 5 милях к западу от корабля B, следовательно, его начальные координаты $A(-5, 0)$. Направим ось OX на восток, а ось OY на север.

Теперь определим, как меняются координаты кораблей с течением времени $t$ (в часах):

• Корабль A движется на юг (в отрицательном направлении оси OY) со скоростью $v_A = 3$ мили в час. Его координата по оси X остается неизменной, а по оси Y меняется по закону $y_A(t) = 0 - 3t = -3t$. Таким образом, положение корабля A в момент времени $t$ описывается координатами $A(t) = (-5, -3t)$.
• Корабль B движется на запад (в отрицательном направлении оси OX) со скоростью $v_B = 4$ мили в час. Его координата по оси Y остается неизменной, а по оси X меняется по закону $x_B(t) = 0 - 4t = -4t$. Таким образом, положение корабля B в момент времени $t$ описывается координатами $B(t) = (-4t, 0)$.

Расстояние $d$ между кораблями в любой момент времени $t$ можно найти с помощью теоремы Пифагора (или формулы расстояния между двумя точками). Для удобства будем работать с квадратом расстояния $d^2(t)$:

$d^2(t) = (x_A(t) - x_B(t))^2 + (y_A(t) - y_B(t))^2$

$d^2(t) = (-5 - (-4t))^2 + (-3t - 0)^2$

$d^2(t) = (-5 + 4t)^2 + (-3t)^2$

$d^2(t) = (4t - 5)^2 + 9t^2$

$d^2(t) = 16t^2 - 40t + 25 + 9t^2$

$d^2(t) = 25t^2 - 40t + 25$

Чтобы определить, окажутся ли корабли на расстоянии, достаточном для приема сигнала (1 миля), нам нужно найти минимальное расстояние между ними. Минимальное расстояние будет соответствовать минимальному значению функции $d^2(t)$.

Функция $d^2(t) = 25t^2 - 40t + 25$ является квадратичной параболой с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $t^2$ положителен). Ее минимальное значение достигается в вершине. Найдем время $t$, соответствующее вершине параболы $at^2+bt+c$ по формуле $t = -\frac{b}{2a}$:

$t_{min} = -\frac{-40}{2 \cdot 25} = \frac{40}{50} = 0.8$ часа.

Теперь вычислим минимальный квадрат расстояния, подставив найденное значение $t = 0.8$ в нашу функцию:

$d^2_{min} = 25(0.8)^2 - 40(0.8) + 25 = 25(0.64) - 32 + 25 = 16 - 32 + 25 = 9$

Таким образом, минимальное расстояние между кораблями равно:

$d_{min} = \sqrt{9} = 3$ мили.

Сигнал с корабля можно различить на расстоянии одной мили. Поскольку минимальное расстояние между кораблями составляет 3 мили, что больше, чем 1 миля, они никогда не смогут принять сигнал друг от друга.

Ответ: Нет, корабли не будут на расстоянии, достаточном для приёма сигнала, так как минимальное расстояние между ними составит 3 мили.