Номер 1015, страница 344 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1015, страница 344.

Условие.

1015. Выяснить, является ли чётной или нечётной функция:

1) $y = x \sin x$;

2) $y = x^2 \cos 2x$;

3) $y = x + \sin x$;

4) $y = x + \cos x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, необходимо проверить ее область определения на симметричность относительно нуля и вычислить значение функции $f(-x)$.

• Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Если ни одно из этих условий не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида). Область определения для всех представленных функций — множество всех действительных чисел $D(y) = (-\infty; +\infty)$, которое симметрично относительно нуля. Поэтому для определения четности достаточно проверить выполнение указанных равенств.

1) $y = x \sin x$

Пусть $y(x) = x \sin x$. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x) \sin(-x)$

Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-x) = -\sin x$.

$y(-x) = (-x) \cdot (-\sin x) = x \sin x$

Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

2) $y = x^2 \cos 2x$

Пусть $y(x) = x^2 \cos 2x$. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x)^2 \cos(2(-x)) = x^2 \cos(-2x)$

Используем свойство четности функции косинус: $\cos(-2x) = \cos(2x)$.

$y(-x) = x^2 \cos(2x)$

Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

3) $y = x + \sin x$

Пусть $y(x) = x + \sin x$. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x) + \sin(-x)$

Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-x) = -\sin x$.

$y(-x) = -x - \sin x = -(x + \sin x)$

Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

4) $y = x + \cos x$

Пусть $y(x) = x + \cos x$. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x) + \cos(-x)$

Используем свойство четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos x$.

$y(-x) = -x + \cos x$

Сравним полученное выражение с $y(x)$ и $-y(x)$:

$y(-x) = -x + \cos x \ne y(x) = x + \cos x$ (равенство не выполняется, например, при $x=1$).

$y(-x) = -x + \cos x \ne -y(x) = -(x+\cos x) = -x - \cos x$ (равенство не выполняется, например, при $x=0$).

Поскольку ни условие четности, ни условие нечетности не выполняются, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.