Номер 1016, страница 344 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1016, страница 344.

Условие.

1016. Выяснить, при каких значениях x возрастает функция:

1) $y = \sqrt{x^2 - 9x - 10}$;

2) $y = \sqrt{7 - 6x - x^2}$;

3) $y = \frac{x-3}{x-4}$;

4) $y = \frac{x-5}{x-6}$;

5) $y = \frac{1}{x^2 - 4}$;

6) $y = \frac{3}{x^2 + 3x - 4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения промежутков возрастания функции необходимо найти ее производную и определить, на каких интервалах производная положительна ($y' > 0$).

1) $y = \sqrt{x^2 - 9x - 10}$
Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 9x - 10 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 9x - 10 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 10$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [10, \infty)$. Это и есть область определения функции.
Теперь найдем производную функции по правилу дифференцирования сложной функции $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$:
$y' = (\sqrt{x^2 - 9x - 10})' = \frac{(x^2 - 9x - 10)'}{2\sqrt{x^2 - 9x - 10}} = \frac{2x - 9}{2\sqrt{x^2 - 9x - 10}}$
Функция возрастает, когда ее производная $y' > 0$.
$\frac{2x - 9}{2\sqrt{x^2 - 9x - 10}} > 0$
Знаменатель $2\sqrt{x^2 - 9x - 10}$ положителен внутри области определения. Следовательно, знак производной зависит от знака числителя:
$2x - 9 > 0 \implies 2x > 9 \implies x > 4.5$
Теперь необходимо найти пересечение полученного условия $x > 4.5$ с областью определения функции $(-\infty, -1] \cup [10, \infty)$.
Пересечением является промежуток $[10, \infty)$.
Ответ: функция возрастает при $x \in [10, \infty)$.

2) $y = \sqrt{7 - 6x - x^2}$
Найдем область определения:
$7 - 6x - x^2 \ge 0 \implies -x^2 - 6x + 7 \ge 0 \implies x^2 + 6x - 7 \le 0$
Корни уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$ равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 1$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $x^2 + 6x - 7 \le 0$ выполняется между корнями: $x \in [-7, 1]$.
Найдем производную:
$y' = (\sqrt{7 - 6x - x^2})' = \frac{(7 - 6x - x^2)'}{2\sqrt{7 - 6x - x^2}} = \frac{-6 - 2x}{2\sqrt{7 - 6x - x^2}} = \frac{-2(x+3)}{2\sqrt{7 - 6x - x^2}} = \frac{-(x+3)}{\sqrt{7 - 6x - x^2}}$
Функция возрастает при $y' > 0$:
$\frac{-(x+3)}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} > 0$
Знаменатель положителен, значит, знак зависит от числителя:
$-(x+3) > 0 \implies x+3 < 0 \implies x < -3$
Найдем пересечение условия $x < -3$ с областью определения $x \in [-7, 1]$.
Получаем промежуток $[-7, -3]$.
Ответ: функция возрастает при $x \in [-7, -3]$.

3) $y = \frac{x-3}{x-4}$
Область определения: $x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$.
Найдем производную по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = \frac{(x-3)'(x-4) - (x-3)(x-4)'}{(x-4)^2} = \frac{1 \cdot (x-4) - (x-3) \cdot 1}{(x-4)^2} = \frac{x-4-x+3}{(x-4)^2} = \frac{-1}{(x-4)^2}$
Для нахождения промежутков возрастания решим неравенство $y' > 0$:
$\frac{-1}{(x-4)^2} > 0$
Знаменатель $(x-4)^2$ всегда положителен при $x \neq 4$. Числитель равен -1 (отрицательное число). Следовательно, производная всегда отрицательна на всей области определения.
Это означает, что функция убывает на всей своей области определения и не имеет промежутков возрастания.
Ответ: нет таких значений $x$.

4) $y = \frac{x-5}{x-6}$
Область определения: $x-6 \neq 0 \implies x \neq 6$.
Найдем производную:
$y' = \frac{(x-5)'(x-6) - (x-5)(x-6)'}{(x-6)^2} = \frac{1 \cdot (x-6) - (x-5) \cdot 1}{(x-6)^2} = \frac{x-6-x+5}{(x-6)^2} = \frac{-1}{(x-6)^2}$
Решим неравенство $y' > 0$:
$\frac{-1}{(x-6)^2} > 0$
Аналогично предыдущему пункту, производная всегда отрицательна на всей области определения. Промежутков возрастания нет.
Ответ: нет таких значений $x$.

5) $y = \frac{1}{x^2 - 4}$
Область определения: $x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$.
Найдем производную по правилу $(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}$:
$y' = - \frac{(x^2 - 4)'}{(x^2 - 4)^2} = -\frac{2x}{(x^2 - 4)^2}$
Функция возрастает при $y' > 0$:
$-\frac{2x}{(x^2 - 4)^2} > 0$
Знаменатель $(x^2 - 4)^2$ всегда положителен на области определения. Знак дроби зависит от знака числителя:
$-2x > 0 \implies x < 0$
Учитывая область определения ($x \neq \pm 2$), получаем, что функция возрастает при $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0)$.
Ответ: функция возрастает при $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0)$.

6) $y = \frac{3}{x^2 + 3x - 4}$
Найдем область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 + 3x - 4 \neq 0$. Корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.
Таким образом, область определения: $x \neq -4$ и $x \neq 1$.
Найдем производную:
$y' = 3 \cdot \left( -\frac{(x^2 + 3x - 4)'}{(x^2 + 3x - 4)^2} \right) = -3 \frac{2x+3}{(x^2 + 3x - 4)^2}$
Функция возрастает при $y' > 0$:
$-3 \frac{2x+3}{(x^2 + 3x - 4)^2} > 0$
Знаменатель положителен на области определения. Знак дроби определяется знаком числителя:
$-3(2x+3) > 0 \implies 2x+3 < 0 \implies 2x < -3 \implies x < -1.5$
С учетом области определения ($x \neq -4, x \neq 1$), получаем, что функция возрастает при $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -1.5)$.
Ответ: функция возрастает при $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -1.5)$.