Страница 344 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

1009. Сигнал с корабля можно различить в море на расстоянии одной мили. Корабль А идёт на юг, делая 3 мили в час, и в настоящее время находится в 5 милях к западу от корабля В, который идёт на запад со скоростью 4 мили в час. Будут ли корабли на расстоянии, достаточном для приёма сигнала?

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть в начальный момент времени $t=0$ корабль B находится в начале координат $B(0, 0)$. Согласно условию, корабль A в этот момент находится в 5 милях к западу от корабля B, следовательно, его начальные координаты $A(-5, 0)$. Направим ось OX на восток, а ось OY на север.

Теперь определим, как меняются координаты кораблей с течением времени $t$ (в часах):

• Корабль A движется на юг (в отрицательном направлении оси OY) со скоростью $v_A = 3$ мили в час. Его координата по оси X остается неизменной, а по оси Y меняется по закону $y_A(t) = 0 - 3t = -3t$. Таким образом, положение корабля A в момент времени $t$ описывается координатами $A(t) = (-5, -3t)$.
• Корабль B движется на запад (в отрицательном направлении оси OX) со скоростью $v_B = 4$ мили в час. Его координата по оси Y остается неизменной, а по оси X меняется по закону $x_B(t) = 0 - 4t = -4t$. Таким образом, положение корабля B в момент времени $t$ описывается координатами $B(t) = (-4t, 0)$.

Расстояние $d$ между кораблями в любой момент времени $t$ можно найти с помощью теоремы Пифагора (или формулы расстояния между двумя точками). Для удобства будем работать с квадратом расстояния $d^2(t)$:

$d^2(t) = (x_A(t) - x_B(t))^2 + (y_A(t) - y_B(t))^2$

$d^2(t) = (-5 - (-4t))^2 + (-3t - 0)^2$

$d^2(t) = (-5 + 4t)^2 + (-3t)^2$

$d^2(t) = (4t - 5)^2 + 9t^2$

$d^2(t) = 16t^2 - 40t + 25 + 9t^2$

$d^2(t) = 25t^2 - 40t + 25$

Чтобы определить, окажутся ли корабли на расстоянии, достаточном для приема сигнала (1 миля), нам нужно найти минимальное расстояние между ними. Минимальное расстояние будет соответствовать минимальному значению функции $d^2(t)$.

Функция $d^2(t) = 25t^2 - 40t + 25$ является квадратичной параболой с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $t^2$ положителен). Ее минимальное значение достигается в вершине. Найдем время $t$, соответствующее вершине параболы $at^2+bt+c$ по формуле $t = -\frac{b}{2a}$:

$t_{min} = -\frac{-40}{2 \cdot 25} = \frac{40}{50} = 0.8$ часа.

Теперь вычислим минимальный квадрат расстояния, подставив найденное значение $t = 0.8$ в нашу функцию:

$d^2_{min} = 25(0.8)^2 - 40(0.8) + 25 = 25(0.64) - 32 + 25 = 16 - 32 + 25 = 9$

Таким образом, минимальное расстояние между кораблями равно:

$d_{min} = \sqrt{9} = 3$ мили.

Сигнал с корабля можно различить на расстоянии одной мили. Поскольку минимальное расстояние между кораблями составляет 3 мили, что больше, чем 1 миля, они никогда не смогут принять сигнал друг от друга.

Ответ: Нет, корабли не будут на расстоянии, достаточном для приёма сигнала, так как минимальное расстояние между ними составит 3 мили.

1010. Выяснить, пересекаются ли графики функций:

1) $y = x^2$ и $y = x+6;$

2) $y = \frac{3}{x}$ и $y = 4(x+1);$

3) $y = \frac{1}{8}x^2$ и $y = \frac{1}{x};$

4) $y = 2x-1$ и $y = \frac{1}{x}.$

1) Чтобы выяснить, пересекаются ли графики функций $y = x^2$ и $y = x + 6$, нужно найти, существуют ли значения $x$, для которых значения $y$ будут одинаковыми. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 = x + 6$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - x - 6 = 0$

Для определения наличия действительных корней найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-6$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Поскольку $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что существуют два значения $x$, при которых графики функций пересекаются.

Ответ: графики пересекаются.

2) Рассмотрим функции $y = \frac{3}{x}$ и $y = 4(x + 1)$. Приравняем их правые части, учитывая, что область определения первой функции исключает $x=0$.

$\frac{3}{x} = 4(x + 1)$

Раскроем скобки в правой части:

$\frac{3}{x} = 4x + 4$

Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$3 = 4x^2 + 4x$

Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$4x^2 + 4x - 3 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=4$, $b=4$, $c=-3$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$

Так как $D = 64 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, ни один из которых не равен нулю (подстановка $x=0$ дает $-3=0$, что неверно). Следовательно, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: графики пересекаются.

3) Для функций $y = \frac{1}{8}x^2$ и $y = \frac{1}{x}$ найдем точки пересечения. Приравняем правые части уравнений. Заметим, что для функции $y = \frac{1}{x}$ значение $x$ не может быть равно нулю.

$\frac{1}{8}x^2 = \frac{1}{x}$

Умножим обе части уравнения на $8x$ (так как $x \neq 0$):

$x^3 = 8$

Это кубическое уравнение имеет один действительный корень:

$x = \sqrt[3]{8} = 2$

Так как существует действительное решение для $x$, графики функций пересекаются.

Ответ: графики пересекаются.

4) Проверим, пересекаются ли графики функций $y = 2x - 1$ и $y = \frac{1}{x}$. Область определения второй функции $x \neq 0$. Приравняем правые части:

$2x - 1 = \frac{1}{x}$

Умножим обе части на $x$ (при $x \neq 0$):

$x(2x - 1) = 1$

$2x^2 - x = 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - x - 1 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=2$, $b=-1$, $c=-1$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Поскольку $D = 9 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня (которые не равны нулю, так как при $x=0$ получается $-1=0$). Значит, графики функций имеют две точки пересечения.

Ответ: графики пересекаются.

1011. Построить график и выяснить, является ли ограниченной функция:

1) $y=\begin{cases} 2x-x^2 & \text{при } x \leq 1, \\ 2-x & \text{при } x > 1; \end{cases}$

2) $y=\begin{cases} x^2+2x+2 & \text{при } x < 1, \\ \sqrt{x} & \text{при } x \geq 1. \end{cases}$

1) $y = \begin{cases} 2x - x^2 & \text{при } x \le 1, \\ 2 - x & \text{при } x > 1. \end{cases}$

Построение графика:

График данной функции состоит из двух частей.

Первая часть, при $x \le 1$, задается функцией $y = 2x - x^2$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Для удобства построения преобразуем выражение, выделив полный квадрат: $y = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -(x-1)^2 + 1$.
Из этого вида видно, что это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(1, 1)$.
Найдем несколько точек для этой части графика:

• При $x=1$, $y = -(1-1)^2 + 1 = 1$. (Вершина)
• При $x=0$, $y = -(0-1)^2 + 1 = 0$.
• При $x=-1$, $y = -(-1-1)^2 + 1 = -4 + 1 = -3$.

Вторая часть, при $x > 1$, задается функцией $y = 2 - x$. Это линейная функция, графиком которой является прямая.

• Найдем предел функции при $x$, стремящемся к 1 справа: $\lim_{x \to 1^+} (2-x) = 2-1 = 1$. Это означает, что вторая часть графика "начинается" в той же точке, где "заканчивается" первая, т.е. в точке $(1, 1)$. Таким образом, функция непрерывна.
• При $x=2$, $y = 2-2 = 0$.
• При $x=3$, $y = 2-3 = -1$.

График представляет собой левую ветвь параболы с вершиной в $(1,1)$ и луч, выходящий из этой же точки и идущий вниз-вправо.

Выяснение ограниченности:

Функция является ограниченной, если ее область значений ограничена как сверху, так и снизу. Иными словами, если существуют такие числа $m$ и $M$, что $m \le y(x) \le M$ для всех $x$ из области определения.

Рассмотрим область значений функции. На промежутке $x \le 1$ функция $y = -(x-1)^2 + 1$ имеет максимальное значение в вершине, равное 1. При $x \to -\infty$, $y \to -\infty$. Таким образом, на этом промежутке область значений: $(-\infty, 1]$.

На промежутке $x > 1$ функция $y = 2-x$ убывает. При $x \to 1^+$, $y \to 1$. При $x \to +\infty$, $y \to -\infty$. Область значений на этом промежутке: $(-\infty, 1)$.

Объединяя области значений для обеих частей, получаем полную область значений функции: $(-\infty, 1] \cup (-\infty, 1) = (-\infty, 1]$.

Функция ограничена сверху числом 1, так как для любого $x$ выполняется $y(x) \le 1$. Однако функция не ограничена снизу, так как ее значения могут быть сколь угодно малыми (стремятся к $-\infty$).

Поскольку функция не ограничена снизу, она не является ограниченной.

Ответ: Функция не является ограниченной.

2) $y = \begin{cases} x^2 + 2x + 2 & \text{при } x < 1, \\ \sqrt{x} & \text{при } x \ge 1. \end{cases}$

Построение графика:

График данной функции также состоит из двух частей.

Первая часть, при $x < 1$, задается функцией $y = x^2 + 2x + 2$. Преобразуем выражение, выделив полный квадрат: $y = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x+1)^2 + 1$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(-1, 1)$.
Найдем несколько точек:

• При $x=-1$, $y = (-1+1)^2 + 1 = 1$. (Вершина)
• При $x=0$, $y = (0+1)^2 + 1 = 2$.
• Найдем предельное значение при $x \to 1^-$: $\lim_{x \to 1^-} (x^2+2x+2) = 1+2+2=5$. Точка $(1, 5)$ является "концом" этой части графика и будет выколотой.

Вторая часть, при $x \ge 1$, задается функцией $y = \sqrt{x}$. Это стандартная функция квадратного корня.
Найдем несколько точек:

• При $x=1$, $y = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит графику.
• При $x=4$, $y = \sqrt{4} = 2$.

В точке $x=1$ функция имеет разрыв (скачок): слева она стремится к 5, а справа ее значение равно 1.

Выяснение ограниченности:

Найдем область значений функции.

На промежутке $x < 1$ функция $y = (x+1)^2 + 1$ имеет минимальное значение в вершине $(-1, 1)$, равное 1. При $x \to -\infty$, $y \to +\infty$. На этом промежутке функция принимает все значения из $[1, \infty)$.

На промежутке $x \ge 1$ функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей. Ее минимальное значение на этом промежутке достигается при $x=1$ и равно $\sqrt{1} = 1$. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. Область значений на этом промежутке: $[1, \infty)$.

Полная область значений функции есть объединение $[1, \infty) \cup [1, \infty) = [1, \infty)$.

Функция ограничена снизу числом 1, так как для любого $x$ выполняется $y(x) \ge 1$. Однако функция не ограничена сверху, так как ее значения стремятся к $+\infty$ при $x \to \pm\infty$.

Поскольку функция не ограничена сверху, она не является ограниченной.

Ответ: Функция не является ограниченной.

1012. Построить график и выяснить, является ли непрерывной функция:

1) $y=\begin{cases} \log_2 (x-1) \text{ при } x \le 1, \\ \sqrt{x-1} \text{ при } x > 1; \end{cases}$

2) $y=\begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^x - 2 \text{ при } x < 1, \\ \sqrt{x-1} \text{ при } x \ge 1; \end{cases}$

3) $y=\begin{cases} |x^2 - 1| \text{ при } x < 1, \\ |\log_2 x| \text{ при } x \ge 1; \end{cases}$

4) $y=\begin{cases} |3^x - 1| \text{ при } x < 0, \\ \sqrt{x-1} \text{ при } x \ge 0. \end{cases}$

1) $y = \begin{cases} \log_2(x-1) & \text{при } x \le 1, \\ \sqrt{x-1} & \text{при } x > 1 \end{cases}$

Для построения графика и анализа функции на непрерывность рассмотрим каждую ее часть отдельно.

Первая часть функции: $y = \log_2(x-1)$ при $x \le 1$. Область определения логарифмической функции требует, чтобы ее аргумент был строго положителен. В данном случае, $x - 1 > 0$, что означает $x > 1$. Однако, эта часть функции задана на промежутке $x \le 1$. Поскольку нет таких значений $x$, которые одновременно удовлетворяли бы условиям $x > 1$ и $x \le 1$, эта часть функции не определена ни для одного значения $x$. Таким образом, на промежутке $(-\infty, 1]$ графика нет.

Вторая часть функции: $y = \sqrt{x-1}$ при $x > 1$. Эта часть функции определена, так как для $x > 1$ подкоренное выражение $x-1$ положительно. График этой функции — это ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox, смещенная на 1 единицу вправо по оси Ox. Найдем несколько точек для построения:

• При $x$, стремящемся к 1 справа ($x \to 1^+$), $y$ стремится к $\sqrt{1-1} = 0$. Точка $(1, 0)$ является началом графика, но не включается в него (выколотая точка).
• При $x = 2$, $y = \sqrt{2-1} = 1$.
• При $x = 5$, $y = \sqrt{5-1} = 2$.

График представляет собой кривую, выходящую из точки $(1, 0)$ и возрастающую вправо.

Непрерывность: Область определения всей функции — это $(1, \infty)$. Функция не определена при $x=1$ и при $x<1$. Функция является непрерывной в точке $a$, если существует предел функции в этой точке, и он равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. В точке $x=1$ функция не определена, поэтому условие непрерывности не выполняется. Левосторонний предел $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ не существует, так как функция не определена слева от 1. Следовательно, функция имеет разрыв в точке $x=1$.

Ответ: График функции существует только для $x > 1$ и представляет собой график $y=\sqrt{x-1}$. Функция не является непрерывной, так как имеет разрыв в точке $x=1$.

2) $y = \begin{cases} (\frac{1}{2})^x - 2 & \text{при } x < 1, \\ \sqrt{x-1} & \text{при } x \ge 1 \end{cases}$

Первая часть функции: $y = (\frac{1}{2})^x - 2$ при $x < 1$. Это график показательной функции $y = (\frac{1}{2})^x$ (основание меньше 1, функция убывающая), смещенный на 2 единицы вниз по оси Oy. Горизонтальная асимптота $y = -2$. Найдем несколько точек:

• При $x = 0$, $y = (\frac{1}{2})^0 - 2 = 1 - 2 = -1$.
• При $x = -1$, $y = (\frac{1}{2})^{-1} - 2 = 2 - 2 = 0$.

На границе интервала, при $x \to 1^-$, значение функции стремится к $(\frac{1}{2})^1 - 2 = 0.5 - 2 = -1.5$. В точке $(1, -1.5)$ будет выколотая точка.

Вторая часть функции: $y = \sqrt{x-1}$ при $x \ge 1$. Это график функции корня, смещенный на 1 единицу вправо по оси Ox. На границе интервала, при $x = 1$, $y = \sqrt{1-1} = 0$. Точка $(1, 0)$ принадлежит графику. Другие точки: при $x=2$, $y=1$; при $x=5$, $y=2$.

Непрерывность: Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=1$.

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} ((\frac{1}{2})^x - 2) = -1.5$.
• Значение функции в точке: $f(1) = \sqrt{1-1} = 0$.

Поскольку левосторонний предел не равен значению функции в точке ($\lim_{x \to 1^-} f(x) \ne f(1)$), функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=1$.

Ответ: Функция не является непрерывной, так как в точке $x=1$ имеет место разрыв первого рода (скачок).

3) $y = \begin{cases} |x^2 - 1| & \text{при } x < 1, \\ |\log_2 x| & \text{при } x \ge 1 \end{cases}$

Первая часть функции: $y = |x^2 - 1|$ при $x < 1$. График этой функции получается из параболы $y = x^2 - 1$ (вершина в $(0, -1)$, ветви вверх, пересекает ось Ox в точках $x=-1$ и $x=1$) путем отражения части графика, лежащей ниже оси Ox, симметрично относительно оси Ox. Для $x < 1$, это означает:

• При $x \le -1$, $x^2-1 \ge 0$, поэтому $|x^2-1| = x^2-1$.
• При $-1 < x < 1$, $x^2-1 < 0$, поэтому $|x^2-1| = -(x^2-1) = 1-x^2$.

На границе интервала, при $x \to 1^-$, значение функции стремится к $|1^2 - 1| = 0$.

Вторая часть функции: $y = |\log_2 x|$ при $x \ge 1$. Для всех $x \ge 1$, значение $\log_2 x \ge \log_2 1 = 0$. Следовательно, на этом промежутке $|\log_2 x| = \log_2 x$. График этой функции — стандартный график логарифмической функции с основанием 2. На границе интервала, при $x=1$, $y = \log_2 1 = 0$. Точка $(1, 0)$ принадлежит графику. Другие точки: при $x=2$, $y=1$; при $x=4$, $y=2$.

Непрерывность: Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=1$.

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} |x^2 - 1| = |1^2 - 1| = 0$.
• Значение функции в точке: $f(1) = |\log_2 1| = 0$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} |\log_2 x| = |\log_2 1| = 0$.

Поскольку $\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$, функция непрерывна в точке $x=1$. Так как обе части функции непрерывны на своих интервалах определения, то и вся функция является непрерывной.

Ответ: Функция является непрерывной на всей своей области определения.

4) $y = \begin{cases} |3^x - 1| & \text{при } x < 0, \\ \sqrt{x} - 1 & \text{при } x \ge 0 \end{cases}$

Первая часть функции: $y = |3^x - 1|$ при $x < 0$. При $x < 0$, имеем $0 < 3^x < 1$, следовательно $3^x - 1 < 0$. Поэтому на данном интервале $|3^x - 1| = -(3^x - 1) = 1 - 3^x$. График этой функции — это график показательной функции $y = -3^x$, смещенный на 1 единицу вверх. Горизонтальная асимптота $y=1$. На границе интервала, при $x \to 0^-$, значение функции стремится к $1 - 3^0 = 1 - 1 = 0$. В точке $(0, 0)$ будет выколотая точка.

Вторая часть функции: $y = \sqrt{x} - 1$ при $x \ge 0$. Это график функции корня $y = \sqrt{x}$, смещенный на 1 единицу вниз по оси Oy. На границе интервала, при $x=0$, $y = \sqrt{0} - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$ принадлежит графику. Другие точки: при $x=1$, $y=0$; при $x=4$, $y=1$.

Непрерывность: Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=0$.

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} |3^x - 1| = |3^0 - 1| = 0$.
• Значение функции в точке: $f(0) = \sqrt{0} - 1 = -1$.

Поскольку левосторонний предел не равен значению функции в точке ($\lim_{x \to 0^-} f(x) \ne f(0)$), функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=0$.

Ответ: Функция не является непрерывной, так как в точке $x=0$ имеет место разрыв первого рода (скачок).

1013. Выяснить, является ли чётной или нечётной функция:

1) $y = 2^x + 2^{-x}$;

2) $y = 3^x - 3^{-x}$;

3) $y = \ln \frac{3+x}{3-x}$;

4) $y = \left| \ln \frac{5+x}{5-x} \right|$.

Для того чтобы выяснить, является ли функция чётной или нечётной, необходимо следовать определению.
Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения чётной функции симметрична относительно начала координат.
Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения нечётной функции также симметрична относительно начала координат.
Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).

1) $y = 2^x + 2^{-x}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = 2^x + 2^{-x}$.
1. Найдём область определения функции $D(f)$. Так как показательная функция определена для любого действительного аргумента, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = 2^{-x} + 2^{-(-x)} = 2^{-x} + 2^x$.
Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = 2^x + 2^{-x} = f(x)$.
Поскольку выполняется условие $f(-x) = f(x)$, данная функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

2) $y = 3^x - 3^{-x}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = 3^x - 3^{-x}$.
1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как, как и в предыдущем случае, показательная функция определена на всей числовой оси. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = 3^{-x} - 3^{-(-x)} = 3^{-x} - 3^x$.
Теперь вынесем знак минус за скобки:
$f(-x) = -( -3^{-x} + 3^x ) = -(3^x - 3^{-x})$.
Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = -f(x)$.
Поскольку выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

3) $y = \ln \frac{3+x}{3-x}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \ln \frac{3+x}{3-x}$.
1. Найдём область определения функции. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным:
$\frac{3+x}{3-x} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x = -3$ и $x = 3$. Они разбивают числовую ось на три интервала. Проверив знаки на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-3; 3)$. Эта область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = \ln \frac{3+(-x)}{3-(-x)} = \ln \frac{3-x}{3+x}$.
Воспользуемся свойством логарифма $\ln(a/b) = -\ln(b/a)$:
$f(-x) = \ln \left( \left( \frac{3+x}{3-x} \right)^{-1} \right) = -1 \cdot \ln \frac{3+x}{3-x} = -f(x)$.
Поскольку выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

4) $y = \left| \ln \frac{5+x}{5-x} \right|$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \left| \ln \frac{5+x}{5-x} \right|$.
1. Найдём область определения. Выражение под знаком логарифма должно быть положительным (знак модуля на это не влияет):
$\frac{5+x}{5-x} > 0$.
Решая неравенство методом интервалов (корни $x = -5$ и $x = 5$), получаем $x \in (-5; 5)$. Эта область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = \left| \ln \frac{5+(-x)}{5-(-x)} \right| = \left| \ln \frac{5-x}{5+x} \right|$.
Используем свойство логарифма $\ln(a/b) = -\ln(b/a)$:
$f(-x) = \left| - \ln \frac{5+x}{5-x} \right|$.
Теперь воспользуемся свойством модуля $|-a| = |a|$:
$f(-x) = \left| \ln \frac{5+x}{5-x} \right| = f(x)$.
Поскольку выполняется условие $f(-x) = f(x)$, данная функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

1014. Исследовать на чётность и нечётность функцию:

1) $y = 2x^2 - 1$;

2) $y = x - x^3$;

3) $y = x^5 - \frac{1}{x}$;

4) $y = \frac{\sin x}{x}$.

Для исследования функции $y(x)$ на чётность или нечётность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(y)$ должна быть симметричной относительно начала координат, то есть для любого $x$ из $D(y)$ значение $-x$ также должно принадлежать $D(y)$.
2. Нужно найти значение $y(-x)$ и сравнить его с $y(x)$:
   • Если $y(-x) = y(x)$ для всех $x \in D(y)$, то функция является чётной.
   • Если $y(-x) = -y(x)$ для всех $x \in D(y)$, то функция является нечётной.
   • Если не выполняется ни одно из этих условий (или область определения несимметрична), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

1) $y = 2x^2 - 1$

Обозначим функцию как $y(x) = 2x^2 - 1$.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Найдем значение функции от $-x$:
$y(-x) = 2(-x)^2 - 1 = 2x^2 - 1$.
3. Сравним $y(-x)$ и $y(x)$:
$y(-x) = 2x^2 - 1 = y(x)$.
Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2) $y = x - x^3$

Обозначим функцию как $y(x) = x - x^3$.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область симметрична.
2. Найдем значение функции от $-x$:
$y(-x) = (-x) - (-x)^3 = -x - (-x^3) = -x + x^3 = -(x - x^3)$.
3. Сравним $y(-x)$ и $y(x)$:
$y(-x) = -(x - x^3) = -y(x)$.
Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

3) $y = x^5 - \frac{1}{x}$

Обозначим функцию как $y(x) = x^5 - \frac{1}{x}$.
1. Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Найдем значение функции от $-x$:
$y(-x) = (-x)^5 - \frac{1}{(-x)} = -x^5 - (-\frac{1}{x}) = -x^5 + \frac{1}{x} = -(x^5 - \frac{1}{x})$.
3. Сравним $y(-x)$ и $y(x)$:
$y(-x) = -(x^5 - \frac{1}{x}) = -y(x)$.
Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

4) $y = \frac{\sin x}{x}$

Обозначим функцию как $y(x) = \frac{\sin x}{x}$.
1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична.
2. Найдем значение функции от $-x$. Вспомним, что синус — нечётная функция, то есть $\sin(-x) = -\sin x$.
$y(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x}$.
3. Сравним $y(-x)$ и $y(x)$:
$y(-x) = \frac{\sin x}{x} = y(x)$.
Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

1015. Выяснить, является ли чётной или нечётной функция:

1) $y = x \sin x$;

2) $y = x^2 \cos 2x$;

3) $y = x + \sin x$;

4) $y = x + \cos x$.

Для того чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, необходимо проверить ее область определения на симметричность относительно нуля и вычислить значение функции $f(-x)$.

• Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Если ни одно из этих условий не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида). Область определения для всех представленных функций — множество всех действительных чисел $D(y) = (-\infty; +\infty)$, которое симметрично относительно нуля. Поэтому для определения четности достаточно проверить выполнение указанных равенств.

1) $y = x \sin x$

Пусть $y(x) = x \sin x$. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x) \sin(-x)$

Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-x) = -\sin x$.

$y(-x) = (-x) \cdot (-\sin x) = x \sin x$

Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

2) $y = x^2 \cos 2x$

Пусть $y(x) = x^2 \cos 2x$. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x)^2 \cos(2(-x)) = x^2 \cos(-2x)$

Используем свойство четности функции косинус: $\cos(-2x) = \cos(2x)$.

$y(-x) = x^2 \cos(2x)$

Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

3) $y = x + \sin x$

Пусть $y(x) = x + \sin x$. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x) + \sin(-x)$

Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-x) = -\sin x$.

$y(-x) = -x - \sin x = -(x + \sin x)$

Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

4) $y = x + \cos x$

Пусть $y(x) = x + \cos x$. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x) + \cos(-x)$

Используем свойство четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos x$.

$y(-x) = -x + \cos x$

Сравним полученное выражение с $y(x)$ и $-y(x)$:

$y(-x) = -x + \cos x \ne y(x) = x + \cos x$ (равенство не выполняется, например, при $x=1$).

$y(-x) = -x + \cos x \ne -y(x) = -(x+\cos x) = -x - \cos x$ (равенство не выполняется, например, при $x=0$).

Поскольку ни условие четности, ни условие нечетности не выполняются, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

1016. Выяснить, при каких значениях x возрастает функция:

1) $y = \sqrt{x^2 - 9x - 10}$;

2) $y = \sqrt{7 - 6x - x^2}$;

3) $y = \frac{x-3}{x-4}$;

4) $y = \frac{x-5}{x-6}$;

5) $y = \frac{1}{x^2 - 4}$;

6) $y = \frac{3}{x^2 + 3x - 4}$.

Для нахождения промежутков возрастания функции необходимо найти ее производную и определить, на каких интервалах производная положительна ($y' > 0$).

1) $y = \sqrt{x^2 - 9x - 10}$
Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 9x - 10 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 9x - 10 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 10$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [10, \infty)$. Это и есть область определения функции.
Теперь найдем производную функции по правилу дифференцирования сложной функции $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$:
$y' = (\sqrt{x^2 - 9x - 10})' = \frac{(x^2 - 9x - 10)'}{2\sqrt{x^2 - 9x - 10}} = \frac{2x - 9}{2\sqrt{x^2 - 9x - 10}}$
Функция возрастает, когда ее производная $y' > 0$.
$\frac{2x - 9}{2\sqrt{x^2 - 9x - 10}} > 0$
Знаменатель $2\sqrt{x^2 - 9x - 10}$ положителен внутри области определения. Следовательно, знак производной зависит от знака числителя:
$2x - 9 > 0 \implies 2x > 9 \implies x > 4.5$
Теперь необходимо найти пересечение полученного условия $x > 4.5$ с областью определения функции $(-\infty, -1] \cup [10, \infty)$.
Пересечением является промежуток $[10, \infty)$.
Ответ: функция возрастает при $x \in [10, \infty)$.

2) $y = \sqrt{7 - 6x - x^2}$
Найдем область определения:
$7 - 6x - x^2 \ge 0 \implies -x^2 - 6x + 7 \ge 0 \implies x^2 + 6x - 7 \le 0$
Корни уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$ равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 1$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $x^2 + 6x - 7 \le 0$ выполняется между корнями: $x \in [-7, 1]$.
Найдем производную:
$y' = (\sqrt{7 - 6x - x^2})' = \frac{(7 - 6x - x^2)'}{2\sqrt{7 - 6x - x^2}} = \frac{-6 - 2x}{2\sqrt{7 - 6x - x^2}} = \frac{-2(x+3)}{2\sqrt{7 - 6x - x^2}} = \frac{-(x+3)}{\sqrt{7 - 6x - x^2}}$
Функция возрастает при $y' > 0$:
$\frac{-(x+3)}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} > 0$
Знаменатель положителен, значит, знак зависит от числителя:
$-(x+3) > 0 \implies x+3 < 0 \implies x < -3$
Найдем пересечение условия $x < -3$ с областью определения $x \in [-7, 1]$.
Получаем промежуток $[-7, -3]$.
Ответ: функция возрастает при $x \in [-7, -3]$.

3) $y = \frac{x-3}{x-4}$
Область определения: $x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$.
Найдем производную по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = \frac{(x-3)'(x-4) - (x-3)(x-4)'}{(x-4)^2} = \frac{1 \cdot (x-4) - (x-3) \cdot 1}{(x-4)^2} = \frac{x-4-x+3}{(x-4)^2} = \frac{-1}{(x-4)^2}$
Для нахождения промежутков возрастания решим неравенство $y' > 0$:
$\frac{-1}{(x-4)^2} > 0$
Знаменатель $(x-4)^2$ всегда положителен при $x \neq 4$. Числитель равен -1 (отрицательное число). Следовательно, производная всегда отрицательна на всей области определения.
Это означает, что функция убывает на всей своей области определения и не имеет промежутков возрастания.
Ответ: нет таких значений $x$.

4) $y = \frac{x-5}{x-6}$
Область определения: $x-6 \neq 0 \implies x \neq 6$.
Найдем производную:
$y' = \frac{(x-5)'(x-6) - (x-5)(x-6)'}{(x-6)^2} = \frac{1 \cdot (x-6) - (x-5) \cdot 1}{(x-6)^2} = \frac{x-6-x+5}{(x-6)^2} = \frac{-1}{(x-6)^2}$
Решим неравенство $y' > 0$:
$\frac{-1}{(x-6)^2} > 0$
Аналогично предыдущему пункту, производная всегда отрицательна на всей области определения. Промежутков возрастания нет.
Ответ: нет таких значений $x$.

5) $y = \frac{1}{x^2 - 4}$
Область определения: $x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$.
Найдем производную по правилу $(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}$:
$y' = - \frac{(x^2 - 4)'}{(x^2 - 4)^2} = -\frac{2x}{(x^2 - 4)^2}$
Функция возрастает при $y' > 0$:
$-\frac{2x}{(x^2 - 4)^2} > 0$
Знаменатель $(x^2 - 4)^2$ всегда положителен на области определения. Знак дроби зависит от знака числителя:
$-2x > 0 \implies x < 0$
Учитывая область определения ($x \neq \pm 2$), получаем, что функция возрастает при $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0)$.
Ответ: функция возрастает при $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0)$.

6) $y = \frac{3}{x^2 + 3x - 4}$
Найдем область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 + 3x - 4 \neq 0$. Корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.
Таким образом, область определения: $x \neq -4$ и $x \neq 1$.
Найдем производную:
$y' = 3 \cdot \left( -\frac{(x^2 + 3x - 4)'}{(x^2 + 3x - 4)^2} \right) = -3 \frac{2x+3}{(x^2 + 3x - 4)^2}$
Функция возрастает при $y' > 0$:
$-3 \frac{2x+3}{(x^2 + 3x - 4)^2} > 0$
Знаменатель положителен на области определения. Знак дроби определяется знаком числителя:
$-3(2x+3) > 0 \implies 2x+3 < 0 \implies 2x < -3 \implies x < -1.5$
С учетом области определения ($x \neq -4, x \neq 1$), получаем, что функция возрастает при $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -1.5)$.
Ответ: функция возрастает при $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -1.5)$.

1017. Выяснить, является ли периодической функция:

1) $y = 2^{5x-1}$;

2) $y = 2\sqrt{\cos^2 x - 1}$

1) $y = 2^{5x-1}$

Для того чтобы функция была периодической, должно существовать такое число $T \ne 0$ (период), что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $y(x+T) = y(x)$.

Область определения данной функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Предположим, что функция является периодической с периодом $T$. Тогда должно выполняться равенство:

$2^{5(x+T)-1} = 2^{5x-1}$

Так как основания степеней равны, то должны быть равны и показатели:

$5(x+T) - 1 = 5x - 1$

$5x + 5T - 1 = 5x - 1$

$5T = 0$

$T = 0$

Единственное значение $T$, удовлетворяющее этому условию, — это $T=0$. Однако, по определению, период должен быть числом, не равным нулю. Следовательно, не существует ненулевого периода $T$.

Другой способ рассуждения: функция $y = 2^{5x-1} = \frac{1}{2} \cdot (2^5)^x = \frac{1}{2} \cdot 32^x$ является показательной с основанием $32 > 1$. Такая функция строго монотонно возрастает на всей своей области определения. Строго монотонная функция не может быть периодической, так как она никогда не принимает одно и то же значение более одного раза.

Ответ: функция не является периодической.

2) $y = 2\sqrt{\cos^2 x - 1}$

Найдем область определения данной функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$\cos^2 x - 1 \ge 0$

Мы знаем, что для любого действительного $x$ значение косинуса лежит в пределах $-1 \le \cos x \le 1$. Следовательно, $0 \le \cos^2 x \le 1$.

Из этого следует, что выражение $\cos^2 x - 1$ всегда меньше или равно нулю ($\cos^2 x - 1 \le 0$).

Таким образом, неравенство $\cos^2 x - 1 \ge 0$ выполняется только в одном случае, когда $\cos^2 x - 1 = 0$.

$\cos^2 x = 1$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\cos x = 1$ или $\cos x = -1$.

Решениями этих уравнений являются:

$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (для $\cos x = 1$)

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (для $\cos x = -1$)

Объединяя эти два множества решений, получаем, что область определения функции состоит из точек $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Для всех $x$ из области определения, подкоренное выражение равно нулю. Таким образом, значение функции в этих точках равно:

$y = 2\sqrt{0} = 0$

Итак, функция определена только в точках вида $x = k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) и в этих точках принимает значение 0.

Проверим, является ли эта функция периодической. По определению, функция $y(x)$ является периодической, если существует такое $T \ne 0$, что для любого $x$ из области определения $x+T$ также принадлежит области определения и $y(x+T) = y(x)$.

Возьмем в качестве возможного периода $T = \pi$. Если $x$ принадлежит области определения, то $x = k\pi$ для некоторого целого $k$. Тогда $x+T = k\pi + \pi = (k+1)\pi$. Так как $k+1$ тоже целое число, точка $x+T$ также принадлежит области определения. Проверим значения функции: $y(x) = y(k\pi) = 0$ $y(x+T) = y((k+1)\pi) = 0$ Следовательно, $y(x+T) = y(x)$.

Так как мы нашли ненулевое число $T=\pi$, удовлетворяющее условию периодичности, функция является периодической. Наименьший положительный период равен $\pi$.

Ответ: функция является периодической с основным периодом $T = \pi$.