Страница 351 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

1095. Из всех цилиндров, вписанных в конус с радиусом основания $R$ и высотой $H$, найти цилиндр наибольшего объёма.

Пусть в конус с радиусом основания $R$ и высотой $H$ вписан цилиндр. Обозначим радиус основания цилиндра как $r$ и его высоту как $h$. Объем такого цилиндра определяется формулой:

$V = \pi r^2 h$

Наша задача — найти такие значения $r$ и $h$, при которых объем $V$ будет максимальным. Для этого необходимо выразить одну переменную ($h$ или $r$) через другую, используя параметры конуса $R$ и $H$.

1. Установление связи между параметрами цилиндра и конуса

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него цилиндра. Сечением конуса является равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и высотой $H$. Сечением цилиндра является прямоугольник с основанием $2r$ и высотой $h$.

В этом сечении мы видим два подобных прямоугольных треугольника. Первый — большой треугольник, образованный высотой конуса $H$ и радиусом его основания $R$. Второй — малый треугольник, который находится над цилиндром. Его катетами являются радиус цилиндра $r$ и разность высот конуса и цилиндра $(H-h)$.

Из подобия этих треугольников следует соотношение:

$\frac{H-h}{r} = \frac{H}{R}$

Выразим высоту цилиндра $h$ через его радиус $r$:

$H-h = \frac{H \cdot r}{R}$

$h = H - \frac{H \cdot r}{R} = H \left(1 - \frac{r}{R}\right)$

При этом радиус цилиндра $r$ может изменяться в пределах от $0$ до $R$.

2. Нахождение объема цилиндра как функции одной переменной

Теперь подставим полученное выражение для $h$ в формулу объема цилиндра:

$V(r) = \pi r^2 \cdot H \left(1 - \frac{r}{R}\right)$

Раскроем скобки, чтобы получить функцию объема, зависящую только от радиуса $r$:

$V(r) = \pi H \left(r^2 - \frac{r^3}{R}\right)$

3. Поиск экстремума функции объема

Чтобы найти значение $r$, при котором объем $V$ максимален, найдем производную функции $V(r)$ по переменной $r$ и приравняем ее к нулю.

$V'(r) = \frac{dV}{dr} = \pi H \frac{d}{dr} \left(r^2 - \frac{r^3}{R}\right) = \pi H \left(2r - \frac{3r^2}{R}\right)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$\pi H \left(2r - \frac{3r^2}{R}\right) = 0$

Поскольку $\pi > 0$ и $H > 0$, то равенство нулю достигается, когда:

$2r - \frac{3r^2}{R} = 0$

$r \left(2 - \frac{3r}{R}\right) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $r_1 = 0$ и $2 - \frac{3r}{R} = 0$.

Решение $r=0$ соответствует цилиндру с нулевым объемом, что является минимумом. Найдем второе решение:

$2 = \frac{3r}{R}$

$3r = 2R$

$r = \frac{2}{3}R$

Это значение $r$ находится в допустимом диапазоне $(0, R)$. Чтобы убедиться, что это точка максимума, можно исследовать знак производной или найти вторую производную.

$V''(r) = \pi H \left(2 - \frac{6r}{R}\right)$

При $r = \frac{2}{3}R$:

$V''\left(\frac{2}{3}R\right) = \pi H \left(2 - \frac{6}{R} \cdot \frac{2R}{3}\right) = \pi H (2-4) = -2\pi H$

Так как $H > 0$, вторая производная $V'' < 0$, что подтверждает, что при $r = \frac{2}{3}R$ объем цилиндра достигает максимума.

4. Определение высоты цилиндра наибольшего объема

Найдем соответствующую высоту $h$, подставив найденное значение $r$ в формулу, связывающую $h$ и $r$:

$h = H \left(1 - \frac{r}{R}\right) = H \left(1 - \frac{\frac{2}{3}R}{R}\right) = H \left(1 - \frac{2}{3}\right) = H \cdot \frac{1}{3} = \frac{H}{3}$

Таким образом, цилиндр будет иметь наибольший объем, если его радиус равен $\frac{2}{3}$ радиуса основания конуса, а его высота равна $\frac{1}{3}$ высоты конуса.

Ответ: Цилиндр наибольшего объема имеет радиус основания $r = \frac{2}{3}R$ и высоту $h = \frac{1}{3}H$.

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

(1096–1100).

1096.

1) $y=\sqrt{x-1}$, $y=3-x$, $y=0$;

2) $y=-\frac{1}{x}$, $y=x^2$, $y=\frac{x^2}{8}$.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y=\sqrt{x-1}$, $y=3-x$ и $y=0$, сначала найдем точки пересечения этих линий, чтобы определить пределы интегрирования.

Сначала найдем точки пересечения графиков друг с другом и с осью $Ox$ ($y=0$).

Пересечение графика $y=\sqrt{x-1}$ с осью $Ox$:
$\sqrt{x-1} = 0 \implies x-1=0 \implies x=1$. Точка пересечения $(1, 0)$.

Пересечение графика $y=3-x$ с осью $Ox$:
$3-x = 0 \implies x=3$. Точка пересечения $(3, 0)$.

Пересечение графиков $y=\sqrt{x-1}$ и $y=3-x$:
$\sqrt{x-1} = 3-x$. Для решения возведем обе части уравнения в квадрат. Это преобразование требует, чтобы правая часть была неотрицательной: $3-x \ge 0$, то есть $x \le 3$.
$x-1 = (3-x)^2$
$x-1 = 9 - 6x + x^2$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1=2$ и $x_2=5$.
Корень $x=5$ не удовлетворяет условию $x \le 3$, поэтому является посторонним. Подходит только корень $x=2$.
Найдем соответствующую ординату: $y = 3-2=1$. Точка пересечения $(2, 1)$.

Фигура ограничена снизу осью $Ox$ ($y=0$). Сверху на промежутке от $x=1$ до $x=2$ фигура ограничена кривой $y=\sqrt{x-1}$, а на промежутке от $x=2$ до $x=3$ — прямой $y=3-x$.
Поэтому площадь фигуры $S$ необходимо разбить на два интеграла:

$S = \int_{1}^{2} \sqrt{x-1} \,dx + \int_{2}^{3} (3-x) \,dx$

Вычислим первый интеграл:
$\int_{1}^{2} \sqrt{x-1} \,dx = \int_{1}^{2} (x-1)^{\frac{1}{2}} \,dx = \left[ \frac{(x-1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{2} = \frac{2}{3} \left[ (x-1)^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{2} = \frac{2}{3} ( (2-1)^{\frac{3}{2}} - (1-1)^{\frac{3}{2}} ) = \frac{2}{3}(1-0) = \frac{2}{3}$.

Вычислим второй интеграл:
$\int_{2}^{3} (3-x) \,dx = \left[ 3x - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{3} = (3 \cdot 3 - \frac{3^2}{2}) - (3 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}) = (9 - \frac{9}{2}) - (6 - 2) = \frac{9}{2} - 4 = \frac{1}{2}$.

Общая площадь фигуры равна сумме этих двух значений:
$S = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}$.

Ответ: $\frac{7}{6}$

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y=-\frac{1}{x}$, $y=x^2$ и $y=\frac{x^2}{8}$, проанализируем расположение графиков и найдем их точки пересечения.

Функции $y=x^2$ и $y=\frac{x^2}{8}$ — это параболы, расположенные в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Функция $y=-\frac{1}{x}$ — это гипербола, расположенная во втором ($x<0, y>0$) и четвертом ($x>0, y<0$) квадрантах. Таким образом, фигура, ограниченная всеми тремя линиями, может существовать только во втором квадранте.

Найдем абсциссы точек пересечения графиков:

Пересечение $y=x^2$ и $y=-\frac{1}{x}$:
$x^2 = -\frac{1}{x} \implies x^3 = -1 \implies x=-1$. Точка пересечения $(-1, 1)$.

Пересечение $y=\frac{x^2}{8}$ и $y=-\frac{1}{x}$:
$\frac{x^2}{8} = -\frac{1}{x} \implies x^3 = -8 \implies x=-2$. Точка пересечения $(-2, \frac{1}{2})$.

Пересечение $y=x^2$ и $y=\frac{x^2}{8}$:
$x^2 = \frac{x^2}{8} \implies 8x^2 = x^2 \implies 7x^2 = 0 \implies x=0$. Точка пересечения $(0, 0)$.

Искомая область интегрирования находится на отрезке $[-2, 0]$. Эта область разбивается на две части прямой $x=-1$.

• На отрезке $[-2, -1]$ фигура ограничена сверху линией $y=-\frac{1}{x}$ и снизу линией $y=\frac{x^2}{8}$.
• На отрезке $[-1, 0]$ фигура ограничена сверху линией $y=x^2$ и снизу линией $y=\frac{x^2}{8}$.

Площадь $S$ равна сумме двух определенных интегралов:
$S = \int_{-2}^{-1} \left(-\frac{1}{x} - \frac{x^2}{8}\right) \,dx + \int_{-1}^{0} \left(x^2 - \frac{x^2}{8}\right) \,dx$

Вычислим первый интеграл:
$\int_{-2}^{-1} \left(-\frac{1}{x} - \frac{x^2}{8}\right) \,dx = \left[-\ln|x| - \frac{x^3}{24}\right]_{-2}^{-1} = \left(-\ln|-1| - \frac{(-1)^3}{24}\right) - \left(-\ln|-2| - \frac{(-2)^3}{24}\right)$
$= \left(0 - \frac{-1}{24}\right) - \left(-\ln(2) - \frac{-8}{24}\right) = \frac{1}{24} + \ln(2) - \frac{8}{24} = \ln(2) - \frac{7}{24}$.

Вычислим второй интеграл:
$\int_{-1}^{0} \left(x^2 - \frac{x^2}{8}\right) \,dx = \int_{-1}^{0} \frac{7x^2}{8} \,dx = \left[\frac{7x^3}{24}\right]_{-1}^{0} = \frac{7 \cdot 0^3}{24} - \frac{7 \cdot (-1)^3}{24} = 0 - \frac{-7}{24} = \frac{7}{24}$.

Общая площадь равна сумме результатов:
$S = \left(\ln(2) - \frac{7}{24}\right) + \frac{7}{24} = \ln(2)$.

Ответ: $\ln(2)$

1097. 1) $y = 4x - x^2$, $y = 5$, $x = 0$, $x = 3$;

2) $y = x^2 - 2x + 8$, $y = 6$, $x = -1$, $x = 3$;

3) $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{2\pi}{3}$, $x = \pi$;

4) $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{6}$.

1) Фигура ограничена линиями $y=4x-x^2$, $y=5$, $x=0$, $x=3$.

Для нахождения площади фигуры необходимо вычислить определенный интеграл. Сначала определим, какая из функций, $y=4x-x^2$ или $y=5$, принимает большие значения на отрезке $[0, 3]$.

Рассмотрим разность $5 - (4x-x^2) = x^2 - 4x + 5$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 5$: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), то трехчлен $x^2 - 4x + 5$ всегда положителен. Это означает, что $5 > 4x-x^2$ для всех $x$, в том числе и на отрезке $[0, 3]$.

Таким образом, верхняя граница фигуры - это прямая $y=5$, а нижняя - парабола $y=4x-x^2$. Площадь $S$ фигуры вычисляется по формуле площади криволинейной трапеции:

$S = \int_{a}^{b} (f_{верх}(x) - f_{ниж}(x)) \,dx$

$S = \int_0^3 (5 - (4x-x^2)) \,dx = \int_0^3 (x^2 - 4x + 5) \,dx$.

Теперь вычислим интеграл:

$\int (x^2 - 4x + 5) \,dx = \frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 5x = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x$.

$S = \left( \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right) \Big|_0^3 = \left(\frac{3^3}{3} - 2(3^2) + 5(3)\right) - \left(\frac{0^3}{3} - 2(0^2) + 5(0)\right)$

$= \left(\frac{27}{3} - 2 \cdot 9 + 15\right) - 0 = (9 - 18 + 15) = 6$.

Ответ: $6$.

2) Фигура ограничена линиями $y=x^2-2x+8$, $y=6$, $x=-1$, $x=3$.

Определим взаимное расположение графиков функций $y=x^2-2x+8$ и $y=6$ на отрезке $[-1, 3]$.

Рассмотрим их разность: $(x^2-2x+8) - 6 = x^2-2x+2$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2-2x+2$: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), то $x^2-2x+2 > 0$ при всех $x$. Это означает, что парабола $y=x^2-2x+8$ всегда находится выше прямой $y=6$.

Площадь $S$ фигуры равна:

$S = \int_{-1}^3 ((x^2-2x+8) - 6) \,dx = \int_{-1}^3 (x^2-2x+2) \,dx$.

Вычислим интеграл:

$\int (x^2-2x+2) \,dx = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 2x = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x$.

$S = \left( \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \right) \Big|_{-1}^3 = \left(\frac{3^3}{3} - 3^2 + 2(3)\right) - \left(\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + 2(-1)\right)$

$= (9 - 9 + 6) - \left(-\frac{1}{3} - 1 - 2\right) = 6 - \left(-\frac{1}{3} - 3\right) = 6 - \left(-\frac{10}{3}\right) = 6 + \frac{10}{3} = \frac{18}{3} + \frac{10}{3} = \frac{28}{3}$.

Ответ: $\frac{28}{3}$.

3) Фигура ограничена линиями $y=\sin x$, $y=0$, $x=\frac{2\pi}{3}$, $x=\pi$.

На отрезке $\left[\frac{2\pi}{3}, \pi\right]$ (вторая координатная четверть) функция $y=\sin x$ принимает неотрицательные значения, то есть $\sin x \ge 0$.

Следовательно, верхняя граница фигуры - это кривая $y=\sin x$, а нижняя - прямая $y=0$ (ось Ox).

Площадь $S$ фигуры вычисляется как интеграл:

$S = \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} (\sin x - 0) \,dx = \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} \sin x \,dx$.

Вычислим интеграл:

$\int \sin x \,dx = -\cos x$.

$S = (-\cos x) \Big|_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} = (-\cos \pi) - \left(-\cos \frac{2\pi}{3}\right) = -(-1) + \cos \frac{2\pi}{3}$.

Так как $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, получаем:

$S = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) Фигура ограничена линиями $y=\cos x$, $y=0$, $x=-\frac{\pi}{6}$, $x=\frac{\pi}{6}$.

На отрезке $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]$ (часть первой и четвертой координатных четвертей) функция $y=\cos x$ принимает положительные значения, так как $\cos x > 0$ для $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Следовательно, верхняя граница фигуры - кривая $y=\cos x$, а нижняя - прямая $y=0$ (ось Ox).

Площадь $S$ фигуры вычисляется по формуле:

$S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} (\cos x - 0) \,dx = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos x \,dx$.

Вычислим интеграл:

$\int \cos x \,dx = \sin x$.

$S = (\sin x) \Big|_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.

Так как $\sin(x)$ является нечетной функцией, то $\sin(-x) = -\sin(x)$.

$S = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \left(-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $1$.

1098. 1) $y=\sqrt{x}$, $y=2$, $x=9$;

2) $y=x^2+3$, $y=x+5$.

1)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\sqrt{x}$, $y=2$ и $x=9$.

Сначала найдем точки пересечения данных линий, чтобы определить границы области интегрирования.

1. Пересечение $y=\sqrt{x}$ и $y=2$:
$\sqrt{x} = 2 \implies x = 4$. Точка пересечения: $(4, 2)$.

2. Пересечение $y=\sqrt{x}$ и $x=9$:
$y = \sqrt{9} = 3$. Точка пересечения: $(9, 3)$.

3. Пересечение $y=2$ и $x=9$:
Точка пересечения: $(9, 2)$.

Фигура представляет собой криволинейную трапецию. На промежутке $x \in [4, 9]$ график функции $y=\sqrt{x}$ находится выше прямой $y=2$, так как, например, при $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$, что больше 2.

Площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции $f(x)$ и снизу графиком функции $g(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:
$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \,dx$

В нашем случае $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = 2$, $a=4$ и $b=9$.
Подставляем эти значения в формулу:
$S = \int_{4}^{9} (\sqrt{x} - 2) \,dx$

Вычисляем интеграл:
$S = \int_{4}^{9} (x^{1/2} - 2) \,dx = \left( \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - 2x \right) \Big|_4^9 = \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2x \right) \Big|_4^9 = \left( \frac{2}{3}x^{3/2} - 2x \right) \Big|_4^9$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left( \frac{2}{3}(9)^{3/2} - 2 \cdot 9 \right) - \left( \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 2 \cdot 4 \right)$
$S = \left( \frac{2}{3} \cdot 27 - 18 \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 8 - 8 \right)$
$S = (18

1099. 1) $y=9-x^2$, $y=(x-1)^2-4$;

2) $y=x^2$, $y=\sqrt[3]{x}$.

Задача заключается в нахождении площади фигуры, ограниченной заданными линиями. Для этого используется определенный интеграл от разности функций, ограничивающих фигуру сверху и снизу.

1) $y=9-x^2$, $y=(x-1)^2-4$

Сначала найдем точки пересечения графиков функций, приравняв их правые части:

$9 - x^2 = (x-1)^2 - 4$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$9 - x^2 = x^2 - 2x + 1 - 4$

$9 - x^2 = x^2 - 2x - 3$

$2x^2 - 2x - 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Это будут пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций принимает большее значение на интервале $(-2, 3)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x=0$.

При $x=0$, $y_1 = 9 - 0^2 = 9$.

При $x=0$, $y_2 = (0-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.

Поскольку $9 > -3$, функция $y=9-x^2$ является верхней границей фигуры, а $y=(x-1)^2-4$ - нижней.

Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (y_{верх} - y_{нижн}) dx$

$S = \int_{-2}^{3} ((9-x^2) - ((x-1)^2-4)) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$(9 - x^2) - (x^2 - 2x - 3) = 9 - x^2 - x^2 + 2x +

1100. 1) $y = \cos x, x = \frac{\pi}{4}, y = 0;$

2) $y = 3^x, x = -1, x = 1, y = 0;$

3) $y = 2\cos 3x - 5\sin 2x + 10, y = 0, x = -\frac{3\pi}{4}, x = \frac{5\pi}{4}.$

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y=\cos x$, $x=\frac{\pi}{4}$ и $y=0$, необходимо определить замкнутую область. В таких задачах, если не указана вторая вертикальная граница, часто подразумевается область, ограниченная также осью ординат ($x=0$). Таким образом, мы ищем площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком $y=\cos x$, осями координат ($x=0, y=0$) и прямой $x=\frac{\pi}{4}$.

На промежутке $[0, \frac{\pi}{4}]$ функция $y = \cos x$ является неотрицательной ($y \ge \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$).

Площадь $S$ вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \,dx$

Первообразной для функции $\cos x$ является $\sin x$. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin(0)$

Зная, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$S = \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) Необходимо найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=3^x$, $x=-1$, $x=1$ и $y=0$. Эта фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y=3^x$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=-1$ и $x=1$.

Функция $y=3^x$ является показательной и всегда положительна ($3^x > 0$ для любого действительного $x$).

Площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл от функции $y=3^x$ в пределах от -1 до 1:

$S = \int_{-1}^{1} 3^x \,dx$

Первообразная для функции $a^x$ равна $\frac{a^x}{\ln a}$. В нашем случае первообразная для $3^x$ равна $\frac{3^x}{\ln 3}$.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{3^x}{\ln 3} \right]_{-1}^{1} = \frac{3^1}{\ln 3} - \frac{3^{-1}}{\ln 3} = \frac{3}{\ln 3} - \frac{1/3}{\ln 3}$

$S = \frac{3 - \frac{1}{3}}{\ln 3} = \frac{\frac{9-1}{3}}{\ln 3} = \frac{\frac{8}{3}}{\ln 3} = \frac{8}{3\ln 3}$

Ответ: $\frac{8}{3\ln 3}$

3) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=2\cos(3x)-5\sin(2x)+10$, $y=0$, $x=-\frac{3\pi}{4}$ и $x=\frac{5\pi}{4}$.

Сначала проверим знак функции $f(x) = 2\cos(3x)-5\sin(2x)+10$ на интервале $[-\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$.

Значения функций $\cos(3x)$ и $\sin(2x)$ лежат в отрезке $[-1, 1]$. Тогда для выражения $2\cos(3x)-5\sin(2x)$ имеем:

Минимальное значение: $2(-1) - 5(1) = -7$.

Максимальное значение: $2(1) - 5(-1) = 7$.

Следовательно, $-7 \le 2\cos(3x)-5\sin(2x) \le 7$.

Тогда для всей функции $f(x)$ имеем: $-7+10 \le f(x) \le 7+10$, то есть $3 \le f(x) \le 17$.

Поскольку функция $f(x)$ положительна на всем промежутке интегрирования, площадь $S$ равна интегралу от функции на данном отрезке:

$S = \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (2\cos(3x) - 5\sin(2x) + 10) \,dx$

Найдем первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (2\cos(3x) - 5\sin(2x) + 10) \,dx = 2 \cdot \frac{\sin(3x)}{3} - 5 \cdot \left(-\frac{\cos(2x)}{2}\right) + 10x = \frac{2}{3}\sin(3x) + \frac{5}{2}\cos(2x) + 10x$

Вычисляем значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница $S = F(\frac{5\pi}{4}) - F(-\frac{3\pi}{4})$.

Вычисляем $F(\frac{5\pi}{4})$:

$\sin(3 \cdot \frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{15\pi}{4}) = \sin(4\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(2 \cdot \frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$F(\frac{5\pi}{4}) = \frac{2}{3}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{5}{2}(0) + 10\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{25\pi}{2}$

Вычисляем $F(-\frac{3\pi}{4})$:

$\sin(3 \cdot (-\frac{3\pi}{4})) = \sin(-\frac{9\pi}{4}) = -\sin(2\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(2 \cdot (-\frac{3\pi}{4})) = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$F(-\frac{3\pi}{4}) = \frac{2}{3}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{5}{2}(0) + 10\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{15\pi}{2}$

Находим площадь:

$S = \left(-\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{25\pi}{2}\right) - \left(-\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{15\pi}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{25\pi}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{15\pi}{2} = \frac{25\pi + 15\pi}{2} = \frac{40\pi}{2} = 20\pi$

Ответ: $20\pi$

1101. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=9x-x^3$ и касательной к этому графику в его точке с абсциссой 3.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции и касательной к нему, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Составить уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в заданной точке.
2. Найти точки пересечения графика функции и касательной, чтобы определить пределы интегрирования.
3. Вычислить площадь с помощью определенного интеграла.

1. Нахождение уравнения касательной

Дана функция $f(x) = 9x - x^3$ и точка касания с абсциссой $x_0 = 3$.Уравнение касательной в общем виде: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем значение функции в точке $x_0 = 3$:
$f(3) = 9 \cdot 3 - 3^3 = 27 - 27 = 0$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(3, 0)$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (9x - x^3)' = 9 - 3x^2$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$, чтобы найти угловой коэффициент касательной:
$f'(3) = 9 - 3 \cdot 3^2 = 9 - 3 \cdot 9 = 9 - 27 = -18$.

Подставим найденные значения $f(3)=0$ и $f'(3)=-18$ в уравнение касательной:
$y = 0 + (-18)(x - 3)$
$y = -18x + 54$.
Итак, уравнение касательной: $y_{кас} = -18x + 54$.

2. Нахождение пределов интегрирования

Чтобы найти пределы интегрирования, необходимо найти все точки пересечения графика функции $y = 9x - x^3

1102. Доказать, что при $-1 \le x \le 1$ сумма $\arcsin x + \arccos x$ равна C, где C — постоянная. Найти C.

Докажем, что сумма $\arcsin x + \arccos x$ является постоянной, и найдем эту постоянную.
Рассмотрим функцию $f(x) = \arcsin x + \arccos x$. Областью определения этой функции является отрезок $[-1, 1]$, так как это общая область определения для функций $\arcsin x$ и $\arccos x$.
Чтобы доказать, что функция является постоянной, найдем её производную на интервале $(-1, 1)$. Если производная равна нулю на всем интервале, то функция на этом интервале постоянна.
$f'(x) = (\arcsin x + \arccos x)' = (\arcsin x)' + (\arccos x)'$.
Используем известные формулы для производных обратных тригонометрических функций:
$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
Тогда производная $f'(x)$ равна:
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0$ для всех $x \in (-1, 1)$.
Поскольку производная функции равна нулю на интервале $(-1, 1)$, функция $f(x)$ является постоянной на этом интервале. Так как $f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[-1, 1]$ (как сумма двух непрерывных функций), она сохраняет свое постоянное значение на всем отрезке.
Таким образом, мы доказали, что $\arcsin x + \arccos x = C$, где $C$ — постоянная.

Теперь найдем значение постоянной $C$.
Для этого достаточно вычислить значение функции $f(x)$ в любой удобной точке из отрезка $[-1, 1]$.
Выберем, например, $x = 0$.
$C = f(0) = \arcsin(0) + \arccos(0)$.
По определению обратных тригонометрических функций:
$\arcsin(0) = 0$, так как $\sin(0) = 0$ и $0 \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
$\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$, так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\frac{\pi}{2} \in [0, \pi]$.
Следовательно, значение постоянной $C$ равно:
$C = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: Доказано, что сумма $\arcsin x + \arccos x$ является постоянной. Значение этой постоянной $C = \frac{\pi}{2}$.

1103. Найти все значения b, при каждом из которых производная функции

$f(x) = \sin 2x - 8(b + 2)\cos x - (4b^2 + 16b + 6)x$

отрицательна на всей числовой прямой.

По условию задачи, производная функции $f(x) = \sin 2x - 8(b + 2)\cos x - (4b^2 + 16b + 6)x$ должна быть отрицательна на всей числовой прямой, то есть $f'(x) < 0$ для всех действительных $x$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:$f'(x) = (\sin 2x)' - (8(b + 2)\cos x)' - ((4b^2 + 16b + 6)x)'$$f'(x) = 2\cos 2x - 8(b + 2)(-\sin x) - (4b^2 + 16b + 6)$$f'(x) = 2\cos 2x + 8(b + 2)\sin x - (4b^2 + 16b + 6)$

Теперь запишем и преобразуем неравенство $f'(x) < 0$. Используем формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы привести неравенство к одной тригонометрической функции:$2(1 - 2\sin^2 x) + 8(b + 2)\sin x - (4b^2 + 16b + 6) < 0$$2 - 4\sin^2 x + 8(b + 2)\sin x - 4b^2 - 16b - 6 < 0$$-4\sin^2 x + 8(b + 2)\sin x - 4b^2 - 16b - 4 < 0$

Разделим обе части неравенства на $-4$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:$\sin^2 x - 2(b + 2)\sin x + b^2 + 4b + 1 > 0$

Произведем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то переменная $t$ может принимать любые значения из этого отрезка. Неравенство должно выполняться для всех $x$, а значит, и для всех $t \in [-1, 1]$.Получаем квадратное неравенство относительно $t$:$t^2 - 2(b + 2)t + b^2 + 4b + 1 > 0$

Рассмотрим функцию $g(t) = t^2 - 2(b + 2)t + b^2 + 4b + 1$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $g(t) > 0$ будет выполняться для всех $t \in [-1, 1]$ тогда и только тогда, когда наименьшее значение функции $g(t)$ на отрезке $[-1, 1]$ будет строго больше нуля.

Наименьшее значение функции $g(t)$ на отрезке зависит от положения вершины параболы $t_v = -\frac{-2(b+2)}{2 \cdot 1} = b+2$ относительно отрезка $[-1, 1]$. Рассмотрим три возможных случая.

1) Вершина параболы лежит левее отрезка $[-1, 1]$: $t_v < -1$.$b + 2 < -1 \implies b < -3$.В этом случае функция $g(t)$ возрастает на всем отрезке $[-1, 1]$, и ее наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, то есть в точке $t = -1$.Требуется выполнение условия $g(-1) > 0$:$g(-1) = (-1)^2 - 2(b+2)(-1) + b^2 + 4b + 1 = 1 + 2(b+2) + b^2 + 4b + 1 = 1 + 2b + 4 + b^2 + 4b + 1 = b^2 + 6b + 6$.Решим неравенство $b^2 + 6b + 6 > 0$. Корни уравнения $b^2 + 6b + 6 = 0$ равны $b_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36-24}}{2} = -3 \pm \sqrt{3}$.Следовательно, неравенство выполняется при $b < -3 - \sqrt{3}$ или $b > -3 + \sqrt{3}$.С учетом условия $b < -3$, получаем решение для этого случая: $b < -3 - \sqrt{3}$.

2) Вершина параболы лежит внутри отрезка $[-1, 1]$: $-1 \le t_v \le 1$.$-1 \le b + 2 \le 1 \implies -3 \le b \le -1$.В этом случае наименьшее значение функции $g(t)$ на отрезке $[-1, 1]$ достигается в вершине $t_v = b+2$.Найдем это значение:$g(t_v) = g(b+2) = (b+2)^2 - 2(b+2)(b+2) + b^2+4b+1 = -(b+2)^2 + b^2+4b+1 = -(b^2+4b+4) + b^2+4b+1 = -3$.Требуется выполнение условия $g(t_v) > 0$, что приводит к неравенству $-3 > 0$. Это неравенство ложно, следовательно, в данном случае решений для $b$ нет.

3) Вершина параболы лежит правее отрезка $[-1, 1]$: $t_v > 1$.$b + 2 > 1 \implies b > -1$.В этом случае функция $g(t)$ убывает на всем отрезке $[-1, 1]$, и ее наименьшее значение достигается в правой границе отрезка, то есть в точке $t = 1$.Требуется выполнение условия $g(1) > 0$:$g(1) = 1^2 - 2(b+2)(1) + b^2 + 4b + 1 = 1 - 2b - 4 + b^2 + 4b + 1 = b^2 + 2b - 2$.Решим неравенство $b^2 + 2b - 2 > 0$. Корни уравнения $b^2 + 2b - 2 = 0$ равны $b_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4(-2)}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.Следовательно, неравенство выполняется при $b < -1 - \sqrt{3}$ или $b > -1 + \sqrt{3}$.С учетом условия $b > -1$, получаем решение для этого случая: $b > -1 + \sqrt{3}$.

Объединяя результаты, полученные в случаях 1 и 3, находим все значения $b$, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: $b \in (-\infty; -3 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty)$.

1104. Найти все значения x, при которых касательные к графикам функций
$y = 3\cos 5x$ и $y = 5\cos 3x + 2$
в точках с абсциссой x параллельны.

Условие параллельности касательных к графикам функций в точках с одной и той же абсциссой $x$ заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x$ равен значению производной этой функции в данной точке.

Обозначим данные функции как $f(x) = 3\cos{5x}$ и $g(x) = 5\cos{3x} + 2$.

Сначала найдем производную первой функции $f(x)$. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем: $f'(x) = (3\cos{5x})' = 3 \cdot (-\sin{5x}) \cdot (5x)' = -15\sin{5x}$.

Теперь найдем производную второй функции $g(x)$: $g'(x) = (5\cos{3x} + 2)' = (5\cos{3x})' + (2)' = 5 \cdot (-\sin{3x}) \cdot (3x)' + 0 = -15\sin{3x}$.

Касательные параллельны, если их угловые коэффициенты равны, то есть $f'(x) = g'(x)$. Составим уравнение: $-15\sin{5x} = -15\sin{3x}$

Разделим обе части уравнения на $-15$: $\sin{5x} = \sin{3x}$

Перенесем все слагаемые в левую часть: $\sin{5x} - \sin{3x} = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности синусов: $\sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}$. Применим эту формулу, где $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$: $2\sin{\frac{5x-3x}{2}}\cos{\frac{5x+3x}{2}} = 0$ $2\sin{\frac{2x}{2}}\cos{\frac{8x}{2}} = 0$ $2\sin{x}\cos{4x} = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два независимых уравнения:
1) $\sin{x} = 0$
2) $\cos{4x} = 0$

Решим первое уравнение: $\sin{x} = 0$ Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ ( $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел).

Решим второе уравнение: $\cos{4x} = 0$ Решением этого уравнения является серия корней: $4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения обоих уравнений, получаем все значения $x$, при которых касательные параллельны.

Ответ: $x = \pi k$, $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

1105. Графику функции $y = -x^3 + ax^2 + bx + c$ принадлежат точки A и B, симметричные относительно прямой $x = 2$. Касательные к этому графику в точках A и B параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку (0; 2), а другая — через точку (0; 6). Найти $a, b, c$.

Дана функция $y = f(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c$.На графике этой функции лежат точки А и В.

1. Анализ условия симметрии точек А и В

Пусть координаты точек A и B равны $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$.Условие, что точки A и B симметричны относительно вертикальной прямой $x=2$, означает, что:

1. Середина отрезка AB лежит на прямой $x=2$. Это дает нам соотношение для x-координат: $\frac{x_A + x_B}{2} = 2$, откуда $x_A + x_B = 4$.
2. Отрезок AB перпендикулярен прямой $x=2$, а значит, он горизонтален. Это дает нам соотношение для y-координат: $y_A = y_B$.

2. Анализ условия параллельности касательных и нахождение коэффициента a

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x$ равен значению производной $f'(x)$ в этой точке.Найдем производную функции: $f'(x) = (-x^3 + ax^2 + bx + c)' = -3x^2 + 2ax + b$.Касательные в точках А и В параллельны, следовательно, их угловые коэффициенты равны: $f'(x_A) = f'(x_B)$.

$-3x_A^2 + 2ax_A + b = -3x_B^2 + 2ax_B + b$

$-3x_A^2 + 2ax_A = -3x_B^2 + 2ax_B$

$3(x_B^2 - x_A^2) - 2a(x_B - x_A) = 0$

Так как А и В — разные точки, $x_A \neq x_B$, и мы можем разделить обе части уравнения на $(x_B - x_A)$:

$3(x_B + x_A) - 2a = 0$

Из условия симметрии мы знаем, что $x_A + x_B = 4$. Подставим это значение:

$3(4) - 2a = 0$

$12 - 2a = 0 \implies 2a = 12 \implies a = 6$.

3. Определение абсцисс точек касания $x_A$ и $x_B$

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.Эта касательная пересекает ось ординат (прямую $x=0$) в точке с y-координатой $y_{int} = y_0 - x_0 f'(x_0)$.

Подставим выражения для $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ с уже найденным $a=6$:$y_0 = -x_0^3 + 6x_0^2 + bx_0 + c$$f'(x_0) = -3x_0^2 + 12x_0 + b$

$y_{int} = (-x_0^3 + 6x_0^2 + bx_0 + c) - x_0(-3x_0^2 + 12x_0 + b)$

$y_{int} = -x_0^3 + 6x_0^2 + bx_0 + c + 3x_0^3 - 12x_0^2 - bx_0$

$y_{int} = 2x_0^3 - 6x_0^2 + c$

По условию, одна касательная проходит через точку $(0; 2)$, а другая — через $(0; 6)$. Это означает, что y-пересечения касательных в точках A и B равны 2 и 6. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x_A^3 - 6x_A^2 + c = 2 \\ 2x_B^3 - 6x_B^2 + c = 6 \end{cases}$

Для удобства решения воспользуемся заменой, исходя из $x_A+x_B=4$. Пусть $x_A = 2-h$ и $x_B = 2+h$ для некоторого $h \neq 0$. Подставим эти выражения в систему.Для первого уравнения ($x_A=2-h$):

$2(2-h)^3 - 6(2-h)^2 + c = 2$

$2(8 - 12h + 6h^2 - h^3) - 6(4 - 4h + h^2) + c = 2$

$16 - 24h + 12h^2 - 2h^3 - 24 + 24h - 6h^2 + c = 2$

$-8 + 6h^2 - 2h^3 + c = 2 \quad (1)$

Для второго уравнения ($x_B=2+h$):

$2(2+h)^3 - 6(2+h)^2 + c = 6$

$2(8 + 12h + 6h^2 + h^3) - 6(4 + 4h + h^2) + c = 6$

$16 + 24h + 12h^2 + 2h^3 - 24 - 24h - 6h^2 + c = 6$

$-8 + 6h^2 + 2h^3 + c = 6 \quad (2)$

Теперь вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(-8 + 6h^2 + 2h^3 + c) - (-8 + 6h^2 - 2h^3 + c) = 6 - 2$

$4h^3 = 4 \implies h^3 = 1 \implies h = 1$.

Теперь мы можем найти абсциссы точек касания:$x_A = 2-h = 2-1 = 1$$x_B = 2+h = 2+1 = 3$.

4. Нахождение коэффициентов b и c

Теперь, зная $x_A=1$, мы можем найти $c$ из первого уравнения системы:$2(1)^3 - 6(1)^2 + c = 2$$2 - 6 + c = 2$$-4 + c = 2 \implies c = 6$.

Осталось найти коэффициент $b$. Используем второе условие симметрии: $y_A = y_B$, то есть $f(x_A) = f(x_B)$.Подставим известные значения $a=6, c=6, x_A=1, x_B=3$ в уравнение функции $y = -x^3 + 6x^2 + bx + 6$:

$f(1) = -(1)^3 + 6(1)^2 + b(1) + 6 = -1 + 6 + b + 6 = 11 + b$

$f(3) = -(3)^3 + 6(3)^2 + b(3) + 6 = -27 + 54 + 3b + 6 = 33 + 3b$

Приравниваем $f(1)$ и $f(3)$:$11 + b = 33 + 3b$$2b = 11 - 33$$2b = -22 \implies b = -11$.

Мы нашли все коэффициенты: $a=6, b=-11, c=6$.

Ответ: $a=6, b=-11, c=6$.

1106. Графику функции $y = x^3 + ax^2 + bx + c$ принадлежат точки А и В, симметричные относительно прямой $x = -2$. Касательные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку (0; 1), а другая — через точку (0; 5). Найти $a, b, c$.

Дана функция $y = f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Ее производная: $y' = f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$.

1. Анализ условия симметрии и параллельности касательных.

Пусть точки $A$ и $B$ имеют координаты $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$. Поскольку точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $x = -2$, их абсциссы удовлетворяют условию: $ \frac{x_A + x_B}{2} = -2 $, откуда $x_A + x_B = -4$.

Касательные к графику в точках $A$ и $B$ параллельны, значит, их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент касательной в точке равен значению производной в этой точке. Следовательно, $f'(x_A) = f'(x_B)$. $3x_A^2 + 2ax_A + b = 3x_B^2 + 2ax_B + b$ $3x_A^2 - 3x_B^2 + 2ax_A - 2ax_B = 0$ $3(x_A - x_B)(x_A + x_B) + 2a(x_A - x_B) = 0$ Так как $A$ и $B$ — разные точки, $x_A \neq x_B$, и мы можем разделить обе части уравнения на $(x_A - x_B)$: $3(x_A + x_B) + 2a = 0$

Мы знаем, что $x_A + x_B = -4$. Подставим это значение в полученное уравнение: $3(-4) + 2a = 0$ $-12 + 2a = 0$ $2a = 12$ $a = 6$

2. Использование уравнений касательных.

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Пусть $k$ — общий угловой коэффициент параллельных касательных, $k = f'(x_A) = f'(x_B)$. Уравнение касательной в точке $A$: $y = y_A + k(x - x_A)$. Уравнение касательной в точке $B$: $y = y_B + k(x - x_B)$.

Из-за симметрии относительно вертикальной прямой $x=-2$ для кубической параболы $y = x^3 + 6x^2 + bx + c$ следует, что ординаты точек $A$ и $B$ равны, то есть $y_A = y_B$. (Это также можно доказать, приравняв $f(x_A) = f(x_B)$).

Одна касательная проходит через точку $(0; 1)$, а другая — через точку $(0; 5)$. Подставим $x=0$ в уравнения касательных: Для касательной в точке $A$: $1 = y_A + k(0 - x_A) \Rightarrow 1 = y_A - kx_A$. Для касательной в точке $B$: $5 = y_B + k(0 - x_B) \Rightarrow 5 = y_B - kx_B$.

Получили систему уравнений: $ \begin{cases} y_A - kx_A = 1 \\ y_B - kx_B = 5 \end{cases} $ Поскольку $y_A = y_B$, вычтем из второго уравнения первое: $(y_B - kx_B) - (y_A - kx_A) = 5 - 1$ $-kx_B + kx_A = 4$ $k(x_A - x_B) = 4$

Из $x_B = -4 - x_A$ следует, что $x_A - x_B = x_A - (-4 - x_A) = 2x_A + 4$. Подставим это в предыдущее равенство: $k(2x_A + 4) = 4$

Теперь найдем выражение для $k$. С учетом $a=6$: $k = f'(x_A) = 3x_A^2 + 2(6)x_A + b = 3x_A^2 + 12x_A + b$. Также используем условие $f(x_A) = f(x_B)$: $x_A^3 + 6x_A^2 + bx_A + c = x_B^3 + 6x_B^2 + bx_B + c$ $x_A^3 - x_B^3 + 6(x_A^2 - x_B^2) + b(x_A - x_B) = 0$ Делим на $(x_A - x_B)$: $(x_A^2 + x_A x_B + x_B^2) + 6(x_A + x_B) + b = 0$ Подставляем $x_A + x_B = -4$ и $x_B = -4 - x_A$: $x_A^2 + x_A(-4-x_A) + (-4-x_A)^2 + 6(-4) + b = 0$ $x_A^2 - 4x_A - x_A^2 + 16 + 8x_A + x_A^2 - 24 + b = 0$ $x_A^2 + 4x_A - 8 + b = 0$, откуда $b = 8 - 4x_A - x_A^2$.

Подставим это выражение для $b$ в формулу для $k$: $k = 3x_A^2 + 12x_A + (8 - 4x_A - x_A^2) = 2x_A^2 + 8x_A + 8 = 2(x_A^2 + 4x_A + 4) = 2(x_A + 2)^2$.

Теперь вернемся к уравнению $k(2x_A + 4) = 4$: $2(x_A + 2)^2 \cdot (2x_A + 4) = 4$ $2(x_A + 2)^2 \cdot 2(x_A + 2) = 4$ $4(x_A + 2)^3 = 4$ $(x_A + 2)^3 = 1$ $x_A + 2 = 1 \Rightarrow x_A = -1$.

3. Нахождение коэффициентов b и c.

Зная $x_A = -1$, находим $b$: $b = 8 - 4x_A - x_A^2 = 8 - 4(-1) - (-1)^2 = 8 + 4 - 1 = 11$.

Теперь найдем $c$. Найдем угловой коэффициент $k$: $k = 2(x_A + 2)^2 = 2(-1 + 2)^2 = 2(1)^2 = 2$. Найдем ординату точки $A(x_A, y_A) = A(-1, y_A)$: $y_A = f(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = -1 + a - b + c$. Подставим найденные $a=6$ и $b=11$: $y_A = -1 + 6 - 11 + c = c - 6$.

Используем уравнение для одной из касательных, например, $y_A - kx_A = 1$: $(c - 6) - (2)(-1) = 1$ $c - 6 + 2 = 1$ $c - 4 = 1$ $c = 5$.

Таким образом, мы нашли все коэффициенты: $a = 6$, $b = 11$, $c = 5$.

Ответ: $a=6$, $b=11$, $c=5$.