Номер 1105, страница 351 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1105, страница 351.

Условие.

1105. Графику функции $y = -x^3 + ax^2 + bx + c$ принадлежат точки A и B, симметричные относительно прямой $x = 2$. Касательные к этому графику в точках A и B параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку (0; 2), а другая — через точку (0; 6). Найти $a, b, c$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дана функция $y = f(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c$.На графике этой функции лежат точки А и В.

1. Анализ условия симметрии точек А и В

Пусть координаты точек A и B равны $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$.Условие, что точки A и B симметричны относительно вертикальной прямой $x=2$, означает, что:

1. Середина отрезка AB лежит на прямой $x=2$. Это дает нам соотношение для x-координат: $\frac{x_A + x_B}{2} = 2$, откуда $x_A + x_B = 4$.
2. Отрезок AB перпендикулярен прямой $x=2$, а значит, он горизонтален. Это дает нам соотношение для y-координат: $y_A = y_B$.

2. Анализ условия параллельности касательных и нахождение коэффициента a

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x$ равен значению производной $f'(x)$ в этой точке.Найдем производную функции: $f'(x) = (-x^3 + ax^2 + bx + c)' = -3x^2 + 2ax + b$.Касательные в точках А и В параллельны, следовательно, их угловые коэффициенты равны: $f'(x_A) = f'(x_B)$.

$-3x_A^2 + 2ax_A + b = -3x_B^2 + 2ax_B + b$

$-3x_A^2 + 2ax_A = -3x_B^2 + 2ax_B$

$3(x_B^2 - x_A^2) - 2a(x_B - x_A) = 0$

Так как А и В — разные точки, $x_A \neq x_B$, и мы можем разделить обе части уравнения на $(x_B - x_A)$:

$3(x_B + x_A) - 2a = 0$

Из условия симметрии мы знаем, что $x_A + x_B = 4$. Подставим это значение:

$3(4) - 2a = 0$

$12 - 2a = 0 \implies 2a = 12 \implies a = 6$.

3. Определение абсцисс точек касания $x_A$ и $x_B$

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.Эта касательная пересекает ось ординат (прямую $x=0$) в точке с y-координатой $y_{int} = y_0 - x_0 f'(x_0)$.

Подставим выражения для $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ с уже найденным $a=6$:$y_0 = -x_0^3 + 6x_0^2 + bx_0 + c$$f'(x_0) = -3x_0^2 + 12x_0 + b$

$y_{int} = (-x_0^3 + 6x_0^2 + bx_0 + c) - x_0(-3x_0^2 + 12x_0 + b)$

$y_{int} = -x_0^3 + 6x_0^2 + bx_0 + c + 3x_0^3 - 12x_0^2 - bx_0$

$y_{int} = 2x_0^3 - 6x_0^2 + c$

По условию, одна касательная проходит через точку $(0; 2)$, а другая — через $(0; 6)$. Это означает, что y-пересечения касательных в точках A и B равны 2 и 6. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x_A^3 - 6x_A^2 + c = 2 \\ 2x_B^3 - 6x_B^2 + c = 6 \end{cases}$

Для удобства решения воспользуемся заменой, исходя из $x_A+x_B=4$. Пусть $x_A = 2-h$ и $x_B = 2+h$ для некоторого $h \neq 0$. Подставим эти выражения в систему.Для первого уравнения ($x_A=2-h$):

$2(2-h)^3 - 6(2-h)^2 + c = 2$

$2(8 - 12h + 6h^2 - h^3) - 6(4 - 4h + h^2) + c = 2$

$16 - 24h + 12h^2 - 2h^3 - 24 + 24h - 6h^2 + c = 2$

$-8 + 6h^2 - 2h^3 + c = 2 \quad (1)$

Для второго уравнения ($x_B=2+h$):

$2(2+h)^3 - 6(2+h)^2 + c = 6$

$2(8 + 12h + 6h^2 + h^3) - 6(4 + 4h + h^2) + c = 6$

$16 + 24h + 12h^2 + 2h^3 - 24 - 24h - 6h^2 + c = 6$

$-8 + 6h^2 + 2h^3 + c = 6 \quad (2)$

Теперь вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(-8 + 6h^2 + 2h^3 + c) - (-8 + 6h^2 - 2h^3 + c) = 6 - 2$

$4h^3 = 4 \implies h^3 = 1 \implies h = 1$.

Теперь мы можем найти абсциссы точек касания:$x_A = 2-h = 2-1 = 1$$x_B = 2+h = 2+1 = 3$.

4. Нахождение коэффициентов b и c

Теперь, зная $x_A=1$, мы можем найти $c$ из первого уравнения системы:$2(1)^3 - 6(1)^2 + c = 2$$2 - 6 + c = 2$$-4 + c = 2 \implies c = 6$.

Осталось найти коэффициент $b$. Используем второе условие симметрии: $y_A = y_B$, то есть $f(x_A) = f(x_B)$.Подставим известные значения $a=6, c=6, x_A=1, x_B=3$ в уравнение функции $y = -x^3 + 6x^2 + bx + 6$:

$f(1) = -(1)^3 + 6(1)^2 + b(1) + 6 = -1 + 6 + b + 6 = 11 + b$

$f(3) = -(3)^3 + 6(3)^2 + b(3) + 6 = -27 + 54 + 3b + 6 = 33 + 3b$

Приравниваем $f(1)$ и $f(3)$:$11 + b = 33 + 3b$$2b = 11 - 33$$2b = -22 \implies b = -11$.

Мы нашли все коэффициенты: $a=6, b=-11, c=6$.

Ответ: $a=6, b=-11, c=6$.