Номер 1107, страница 352 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1107, страница 352.

Условие.

1107. График функции $y=x^3+ax^2+bx+c$, $c<0$, пересекает ось ординат в точке A и имеет ровно две общие точки M и N с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке M, проходит через точку A. Найти $a, b, c$, если площадь треугольника AMN равна 1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана функция $y(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.

Анализ условий задачи
График функции пересекает ось ординат в точке A, абсцисса которой равна 0. Ордината точки A равна $y(0) = c$. Таким образом, координаты точки A: $(0, c)$. По условию $c < 0$.
График имеет ровно две общие точки M и N с осью абсцисс ($y=0$). Это означает, что кубическое уравнение $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ имеет ровно два различных действительных корня. Для кубического многочлена это возможно, только если один корень является простым, а другой — кратным (второй кратности). Корень второй кратности соответствует точке, в которой график функции касается оси абсцисс.
Пусть координаты точек пересечения $M(x_M, 0)$ и $N(x_N, 0)$. Одна из этих точек является точкой касания.
Прямая, касающаяся графика в точке M, проходит через точку A. Определим, какая из точек, M или N, является точкой касания с осью абсцисс. Если бы M была точкой касания, то касательная в этой точке была бы сама ось абсцисс, то есть прямая $Y=0$. Точка A с координатами $(0,c)$, где $c<0$, не лежит на оси абсцисс. Следовательно, касательная в точке M не может быть осью абсцисс. Это означает, что M — это точка пересечения (простой корень), а N — точка касания (кратный корень).
Поскольку N — точка касания, в ней выполняются условия $y(x_N) = 0$ и $y'(x_N) = 0$. Точка M — простой корень, поэтому $y(x_M) = 0$.
Следовательно, функцию можно представить в виде $y(x) = (x - x_M)(x - x_N)^2$, так как старший коэффициент при $x^3$ равен 1.

Связь коэффициентов с корнями
Раскроем скобки в разложении функции на множители:
$y = (x - x_M)(x^2 - 2x_N x + x_N^2) = x^3 - 2x_N x^2 + x_N^2 x - x_M x^2 + 2x_M x_N x - x_M x_N^2$
$y = x^3 + (-x_M - 2x_N)x^2 + (2x_M x_N + x_N^2)x - x_M x_N^2$
Сравнивая это выражение с $y = x^3 + ax^2 + bx + c$, получаем (согласно формулам Виета для кратных корней):
$a = -x_M - 2x_N$ (1)
$b = 2x_M x_N + x_N^2$ (2)
$c = -x_M x_N^2$ (3)

Использование условия о касательной
Касательная к графику в точке $M(x_M, 0)$ проходит через точку $A(0, c)$. Уравнение касательной в точке M имеет вид $Y - y(x_M) = y'(x_M)(X - x_M)$. Так как $y(x_M)=0$, уравнение упрощается до $Y = y'(x_M)(X - x_M)$. Подставим координаты точки A $(0,c)$: $c = y'(x_M)(0 - x_M)$, откуда $c = -x_M y'(x_M)$.
Найдем производную $y'(x)$. Продифференцируем разложенную на множители форму:
$y'(x) = \frac{d}{dx}((x - x_M)(x - x_N)^2) = 1 \cdot (x-x_N)^2 + (x-x_M) \cdot 2(x-x_N)$
$y'(x) = (x-x_N)((x-x_N) + 2(x-x_M)) = (x-x_N)(3x-x_N-2x_M)$.
Значение производной в точке M: $y'(x_M) = (x_M - x_N)(3x_M - x_N - 2x_M) = (x_M - x_N)(x_M - x_N) = (x_M - x_N)^2$.
Подставим это выражение и формулу для $c$ (3) в условие для касательной $c = -x_M y'(x_M)$:
$-x_M x_N^2 = -x_M (x_M - x_N)^2$.
Из условия $c < 0$ и формулы (3) $c = -x_M x_N^2$ следует, что $x_M x_N^2 > 0$. Поскольку $x_N$ — корень, если бы $x_N=0$, то и $c=0$, что противоречит условию. Значит, $x_N \neq 0$ и $x_N^2 > 0$. Отсюда следует, что $x_M > 0$. Так как $x_M \neq 0$, мы можем разделить уравнение на $-x_M$:
$x_N^2 = (x_M - x_N)^2$
$x_N^2 = x_M^2 - 2x_M x_N + x_N^2$
$0 = x_M^2 - 2x_M x_N = x_M(x_M - 2x_N)$.
Поскольку $x_M \neq 0$, получаем $x_M - 2x_N = 0$, откуда находим ключевое соотношение: $x_M = 2x_N$.

Использование условия о площади треугольника
Вершины треугольника AMN: $A(0, c)$, $M(x_M, 0)$ и $N(x_N, 0)$. Основание треугольника MN лежит на оси абсцисс, его длина равна $|x_M - x_N|$. Высота треугольника, проведенная из вершины A к основанию MN, равна модулю ординаты точки A, то есть $|c|$. Площадь треугольника равна 1: $S_{AMN} = \frac{1}{2} |x_M - x_N| |c| = 1$.
Используя соотношение $x_M = 2x_N$:
Длина основания: $|x_M - x_N| = |2x_N - x_N| = |x_N|$.
Из формулы (3) выразим $c$ через $x_N$: $c = -x_M x_N^2 = -(2x_N)x_N^2 = -2x_N^3$.
Высота: $|c| = |-2x_N^3| = 2|x_N|^3$.
Подставим найденные выражения для основания и высоты в формулу площади:
$\frac{1}{2} |x_N| \cdot (2|x_N|^3) = 1$
$|x_N|^4 = 1$.
Отсюда $|x_N| = 1$, что дает два возможных значения: $x_N = 1$ или $x_N = -1$.

Нахождение коэффициентов a, b, c
Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $x_N = 1$.
Тогда $x_M = 2x_N = 2(1) = 2$.
Находим коэффициенты по формулам (1), (2), (3):
$a = -x_M - 2x_N = -2 - 2(1) = -4$.
$b = 2x_M x_N + x_N^2 = 2(2)(1) + 1^2 = 4 + 1 = 5$.
$c = -x_M x_N^2 = -2 \cdot 1^2 = -2$.
Значение $c=-2$ удовлетворяет условию $c<0$. Следовательно, это решение подходит.
Случай 2: $x_N = -1$.
Тогда $x_M = 2x_N = 2(-1) = -2$.
Находим коэффициент $c$:
$c = -x_M x_N^2 = -(-2) \cdot (-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$.
Значение $c=2$ противоречит условию $c<0$. Следовательно, этот случай не дает решения.
Единственным решением является набор коэффициентов, полученный в первом случае.

Ответ: $a = -4, b = 5, c = -2$.