Номер 1113, страница 352 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1113, страница 352.

Условие.

1113. При каком значении $k$ площадь фигуры, заключённой между параболой $y = x^2 + 2x - 3$ и прямой $y = kx + 1$, наименьшая?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения площади фигуры, заключенной между параболой и прямой, необходимо сначала определить точки их пересечения. Абсциссы этих точек являются корнями уравнения, получаемого приравниванием выражений для $y$.

1. Нахождение точек пересечения.

Приравняем уравнения параболы и прямой:

$x^2 + 2x - 3 = kx + 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 + (2 - k)x - 4 = 0$

Чтобы прямая и парабола ограничивали некоторую площадь, они должны пересекаться в двух различных точках. Это означает, что дискриминант $D$ данного квадратного уравнения должен быть положительным.

$D = (2 - k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = (2 - k)^2 + 16$

Так как $(2 - k)^2 \ge 0$ для любого значения $k$, то $D = (2 - k)^2 + 16 \ge 16$. Дискриминант всегда положителен, следовательно, при любом $k$ существует две точки пересечения. Обозначим их абсциссы как $x_1$ и $x_2$.

2. Вычисление площади фигуры.

Площадь $S$ фигуры, ограниченной графиками функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ на отрезке $[x_1, x_2]$, вычисляется по формуле:

$S = \int_{x_1}^{x_2} |f(x) - g(x)| \,dx$

В нашем случае разность функций равна:

$(kx + 1) - (x^2 + 2x - 3) = -x^2 + (k - 2)x + 4$

Эта парабола с ветвями вниз положительна на интервале между своими корнями $(x_1, x_2)$. Таким образом, площадь можно найти как:

$S(k) = \int_{x_1}^{x_2} (-x^2 + (k - 2)x + 4) \,dx$

Для вычисления площади, ограниченной параболой $y=ax^2+bx+c$ и прямой, пересекающей ее в точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$, существует формула, использующая дискриминант $D$ и старший коэффициент $a$ уравнения разности:

$S = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2}$

В нашем случае уравнение разности $-x^2 + (k - 2)x + 4 = 0$. Здесь старший коэффициент $a = -1$, а дискриминант $D = (k-2)^2 + 16$.

Подставляем эти значения в формулу площади:

$S(k) = \frac{((k-2)^2 + 16)\sqrt{(k-2)^2 + 16}}{6(-1)^2} = \frac{((k-2)^2 + 16)^{3/2}}{6}$

3. Нахождение минимального значения площади.

Мы получили функцию площади $S(k)$, которая зависит от параметра $k$. Нам нужно найти такое значение $k$, при котором $S(k)$ будет наименьшим.

$S(k) = \frac{1}{6} \left((k-2)^2 + 16\right)^{3/2}$

Функция $u^{3/2}$ является монотонно возрастающей при $u > 0$. Следовательно, функция $S(k)$ достигает своего минимума в той же точке, что и выражение в скобках:

$g(k) = (k-2)^2 + 16$

Это выражение представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Координата вершины параболы вида $a(k-h)^2+p$ находится в точке $k=h$. В нашем случае $h=2$.

Таким образом, выражение $g(k)$ минимально при $k=2$. При этом значении $k$ и площадь $S(k)$ будет наименьшей.

Ответ: $2$