Номер 1113, страница 352 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1113, страница 352.
№1113 (с. 352)
Условие. №1113 (с. 352)
скриншот условия

1113. При каком значении $k$ площадь фигуры, заключённой между параболой $y = x^2 + 2x - 3$ и прямой $y = kx + 1$, наименьшая?
Решение 1. №1113 (с. 352)

Решение 2. №1113 (с. 352)


Решение 3. №1113 (с. 352)
Для нахождения площади фигуры, заключенной между параболой и прямой, необходимо сначала определить точки их пересечения. Абсциссы этих точек являются корнями уравнения, получаемого приравниванием выражений для $y$.
1. Нахождение точек пересечения.
Приравняем уравнения параболы и прямой:
$x^2 + 2x - 3 = kx + 1$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $x$:
$x^2 + (2 - k)x - 4 = 0$
Чтобы прямая и парабола ограничивали некоторую площадь, они должны пересекаться в двух различных точках. Это означает, что дискриминант $D$ данного квадратного уравнения должен быть положительным.
$D = (2 - k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = (2 - k)^2 + 16$
Так как $(2 - k)^2 \ge 0$ для любого значения $k$, то $D = (2 - k)^2 + 16 \ge 16$. Дискриминант всегда положителен, следовательно, при любом $k$ существует две точки пересечения. Обозначим их абсциссы как $x_1$ и $x_2$.
2. Вычисление площади фигуры.
Площадь $S$ фигуры, ограниченной графиками функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ на отрезке $[x_1, x_2]$, вычисляется по формуле:
$S = \int_{x_1}^{x_2} |f(x) - g(x)| \,dx$
В нашем случае разность функций равна:
$(kx + 1) - (x^2 + 2x - 3) = -x^2 + (k - 2)x + 4$
Эта парабола с ветвями вниз положительна на интервале между своими корнями $(x_1, x_2)$. Таким образом, площадь можно найти как:
$S(k) = \int_{x_1}^{x_2} (-x^2 + (k - 2)x + 4) \,dx$
Для вычисления площади, ограниченной параболой $y=ax^2+bx+c$ и прямой, пересекающей ее в точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$, существует формула, использующая дискриминант $D$ и старший коэффициент $a$ уравнения разности:
$S = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2}$
В нашем случае уравнение разности $-x^2 + (k - 2)x + 4 = 0$. Здесь старший коэффициент $a = -1$, а дискриминант $D = (k-2)^2 + 16$.
Подставляем эти значения в формулу площади:
$S(k) = \frac{((k-2)^2 + 16)\sqrt{(k-2)^2 + 16}}{6(-1)^2} = \frac{((k-2)^2 + 16)^{3/2}}{6}$
3. Нахождение минимального значения площади.
Мы получили функцию площади $S(k)$, которая зависит от параметра $k$. Нам нужно найти такое значение $k$, при котором $S(k)$ будет наименьшим.
$S(k) = \frac{1}{6} \left((k-2)^2 + 16\right)^{3/2}$
Функция $u^{3/2}$ является монотонно возрастающей при $u > 0$. Следовательно, функция $S(k)$ достигает своего минимума в той же точке, что и выражение в скобках:
$g(k) = (k-2)^2 + 16$
Это выражение представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Координата вершины параболы вида $a(k-h)^2+p$ находится в точке $k=h$. В нашем случае $h=2$.
Таким образом, выражение $g(k)$ минимально при $k=2$. При этом значении $k$ и площадь $S(k)$ будет наименьшей.
Ответ: $2$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1113 расположенного на странице 352 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1113 (с. 352), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.