Номер 1114, страница 352 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1114, страница 352.

Условие.

1114. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y=0.5x^2-2x+2$ и касательными к ней, проведёнными через точки $A\left(1;\frac{1}{2}\right)$ и $B(4; 2)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = 0,5x^2 - 2x + 2$ и касательными к ней в точках $A(1; \frac{1}{2})$ и $B(4; 2)$, необходимо выполнить следующие действия.

1. Найти уравнения касательных к параболе.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную данной функции $f(x) = 0,5x^2 - 2x + 2$:

$f'(x) = (0,5x^2 - 2x + 2)' = 2 \cdot 0,5x - 2 = x - 2$.

Теперь найдем уравнения для каждой касательной.

Касательная в точке $A(1; \frac{1}{2})$:

Абсцисса точки касания $x_0 = 1$.

Ордината точки касания: $f(1) = 0,5(1)^2 - 2(1) + 2 = 0,5 - 2 + 2 = 0,5 = \frac{1}{2}$.

Угловой коэффициент касательной (значение производной в точке $x_0=1$): $k_1 = f'(1) = 1 - 2 = -1$.

Уравнение касательной в точке A:

$y = \frac{1}{2} + (-1)(x - 1) = \frac{1}{2} - x + 1$

$y_1 = -x + \frac{3}{2}$

Касательная в точке $B(4; 2)$:

Абсцисса точки касания $x_0 = 4$.

Ордината точки касания: $f(4) = 0,5(4)^2 - 2(4) + 2 = 0,5 \cdot 16 - 8 + 2 = 8 - 8 + 2 = 2$.

Угловой коэффициент касательной (значение производной в точке $x_0=4$): $k_2 = f'(4) = 4 - 2 = 2$.

Уравнение касательной в точке B:

$y = 2 + 2(x - 4) = 2 + 2x - 8$

$y_2 = 2x - 6$

2. Найти точку пересечения касательных.

Чтобы найти точку пересечения, приравняем правые части уравнений касательных $y_1$ и $y_2$:

$-x + \frac{3}{2} = 2x - 6$

$3x = 6 + \frac{3}{2}$

$3x = \frac{12}{2} + \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$

$x = \frac{15}{2 \cdot 3} = \frac{5}{2} = 2,5$

Абсцисса точки пересечения равна 2,5. Эта точка лежит между абсциссами точек касания (1 и 4).

3. Вычислить площадь фигуры.

Искомая площадь $S$ — это площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху параболой $y = 0,5x^2 - 2x + 2$, а снизу — ломаной линией, состоящей из двух отрезков касательных. Площадь можно найти как разность между площадью под параболой и площадью под касательными на отрезке $[1, 4]$.

Площадь $S$ вычисляется как сумма двух интегралов. На отрезке $[1; 2,5]$ фигура ограничена снизу касательной $y_1 = -x + \frac{3}{2}$, а на отрезке $[2,5; 4]$ — касательной $y_2 = 2x - 6$.

$S = \int_{1}^{2,5} \left( (0,5x^2 - 2x + 2) - (-x + \frac{3}{2}) \right) dx + \int_{2,5}^{4} \left( (0,5x^2 - 2x + 2) - (2x - 6) \right) dx$

Упростим подынтегральные функции:

Первая: $0,5x^2 - 2x + 2 + x - 1,5 = 0,5x^2 - x + 0,5 = \frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1) = \frac{1}{2}(x - 1)^2$.

Вторая: $0,5x^2 - 2x + 2 - 2x + 6 = 0,5x^2 - 4x + 8 = \frac{1}{2}(x^2 - 8x + 16) = \frac{1}{2}(x - 4)^2$.

Вычислим интегралы, используя $2,5 = \frac{5}{2}$:

$S = \int_{1}^{5/2} \frac{1}{2}(x - 1)^2 dx + \int_{5/2}^{4} \frac{1}{2}(x - 4)^2 dx$

$S = \frac{1}{2} \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{1}^{5/2} + \frac{1}{2} \left[ \frac{(x-4)^3}{3} \right]_{5/2}^{4}$

$S = \frac{1}{6} \left( (\frac{5}{2} - 1)^3 - (1 - 1)^3 \right) + \frac{1}{6} \left( (4 - 4)^3 - (\frac{5}{2} - 4)^3 \right)$

$S = \frac{1}{6} \left( (\frac{3}{2})^3 - 0 \right) + \frac{1}{6} \left( 0 - (-\frac{3}{2})^3 \right)$

$S = \frac{1}{6} \cdot \frac{27}{8} + \frac{1}{6} \cdot \left( -(-\frac{27}{8}) \right) = \frac{27}{48} + \frac{27}{48} = \frac{54}{48}$

Сократим дробь:

$S = \frac{54 \div 6}{48 \div 6} = \frac{9}{8}$

Ответ: $\frac{9}{8}$.