Номер 1119, страница 353 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1119, страница 353.

Условие.

1119. Показать, что $f'(1) = f'(0)$, если $f(x) = (2x - 3)(3x^2 + 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы показать, что $f'(1) = f'(0)$, необходимо найти производную функции $f(x)$ и вычислить ее значения в точках $x=1$ и $x=0$.

Дана функция $f(x) = (2x - 3)(3x^2 + 1)$.

Сначала упростим выражение для функции $f(x)$, раскрыв скобки:

$f(x) = 2x \cdot 3x^2 + 2x \cdot 1 - 3 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 1 = 6x^3 + 2x - 9x^2 - 3$

Запишем многочлен в стандартном виде, расположив члены по убыванию степеней $x$:

$f(x) = 6x^3 - 9x^2 + 2x - 3$

Теперь найдем производную $f'(x)$, используя правила дифференцирования:

$f'(x) = (6x^3 - 9x^2 + 2x - 3)'$

$f'(x) = 6 \cdot (3x^2) - 9 \cdot (2x) + 2 \cdot 1 - 0$

$f'(x) = 18x^2 - 18x + 2$

Далее, вычислим значение производной в точке $x = 1$:

$f'(1) = 18(1)^2 - 18(1) + 2 = 18 \cdot 1 - 18 + 2 = 18 - 18 + 2 = 2$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = 0$:

$f'(0) = 18(0)^2 - 18(0) + 2 = 18 \cdot 0 - 0 + 2 = 0 - 0 + 2 = 2$

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что $f'(1) = 2$ и $f'(0) = 2$.

Следовательно, равенство $f'(1) = f'(0)$ выполняется, что и требовалось показать.

Ответ: Поскольку $f'(1) = 2$ и $f'(0) = 2$, равенство $f'(1) = f'(0)$ доказано.