Номер 1112, страница 352 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1112, страница 352.

Условие.

1112. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 4x - x^2$ и касательными к ней, проходящими через точку $M\left(\frac{5}{2}; 6\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения площади фигуры необходимо сначала определить уравнения касательных к параболе $y = 4x - x^2$, проходящих через точку $M(\frac{5}{2}; 6)$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$.

Найдём производную функции $y = f(x) = 4x - x^2$:

$f'(x) = 4 - 2x$.

Пусть $(x_0, y_0)$ — точка касания. Тогда $y_0 = 4x_0 - x_0^2$. Угловой коэффициент касательной в этой точке равен $k = f'(x_0) = 4 - 2x_0$.

Уравнение касательной в точке $x_0$ принимает вид: $y = (4x_0 - x_0^2) + (4 - 2x_0)(x - x_0)$.

Так как касательная проходит через точку $M(\frac{5}{2}; 6)$, подставим её координаты $(x = \frac{5}{2}, y = 6)$ в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$:

$6 = (4x_0 - x_0^2) + (4 - 2x_0)(\frac{5}{2} - x_0)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$6 = 4x_0 - x_0^2 + 4 \cdot \frac{5}{2} - 4x_0 - 2x_0 \cdot \frac{5}{2} + 2x_0^2$

$6 = 4x_0 - x_0^2 + 10 - 4x_0 - 5x_0 + 2x_0^2$

Приведём подобные члены:

$6 = x_0^2 - 5x_0 + 10$

$x_0^2 - 5x_0 + 4 = 0$

Корни этого квадратного уравнения, которые можно найти по теореме Виета, равны $x_{01} = 1$ и $x_{02} = 4$. Это абсциссы точек касания.

Теперь найдём уравнения двух касательных.

1. Для $x_0 = 1$:

Ордината точки касания: $y(1) = 4(1) - 1^2 = 3$. Точка касания — $(1, 3)$.

Угловой коэффициент: $k_1 = f'(1) = 4 - 2(1) = 2$.

Уравнение первой касательной $y_1$: $y - 3 = 2(x - 1)$, что даёт $y_1 = 2x + 1$.

2. Для $x_0 = 4$:

Ордината точки касания: $y(4) = 4(4) - 4^2 = 0$. Точка касания — $(4, 0)$.

Угловой коэффициент: $k_2 = f'(4) = 4 - 2(4) = -4$.

Уравнение второй касательной $y_2$: $y - 0 = -4(x - 4)$, что даёт $y_2 = -4x + 16$.

Искомая фигура ограничена снизу параболой $y = 4x - x^2$ и сверху двумя касательными: $y_1 = 2x + 1$ на отрезке $[1, \frac{5}{2}]$ и $y_2 = -4x + 16$ на отрезке $[\frac{5}{2}, 4]$. Точка пересечения касательных $M(\frac{5}{2}, 6)$ делит область интегрирования на две части.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как разность площади под касательными и площади под параболой на отрезке $[1, 4]$.

$S = \int_{1}^{5/2} (y_1(x) - (4x-x^2)) dx + \int_{5/2}^{4} (y_2(x) - (4x-x^2)) dx$

$S = \int_{1}^{5/2} ((2x+1) - (4x-x^2)) dx + \int_{5/2}^{4} ((-4x+16) - (4x-x^2)) dx$

Упростим подынтегральные выражения:

$S = \int_{1}^{5/2} (x^2 - 2x + 1) dx + \int_{5/2}^{4} (x^2 - 8x + 16) dx$

Заметим, что подынтегральные выражения являются полными квадратами:

$S = \int_{1}^{5/2} (x-1)^2 dx + \int_{5/2}^{4} (x-4)^2 dx$

Вычислим каждый интеграл:

$\int_{1}^{5/2} (x-1)^2 dx = \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{1}^{5/2} = \frac{(\frac{5}{2}-1)^3}{3} - \frac{(1-1)^3}{3} = \frac{(\frac{3}{2})^3}{3} - 0 = \frac{27/8}{3} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$.

$\int_{5/2}^{4} (x-4)^2 dx = \left[ \frac{(x-4)^3}{3} \right]_{5/2}^{4} = \frac{(4-4)^3}{3} - \frac{(\frac{5}{2}-4)^3}{3} = 0 - \frac{(-\frac{3}{2})^3}{3} = - \frac{-27/8}{3} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$.

Сложим полученные значения, чтобы найти общую площадь:

$S = \frac{9}{8} + \frac{9}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$.

Ответ: $\frac{9}{4}$.