Номер 1109, страница 352 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1109, страница 352.

Условие.

1109. В какой точке графика функции $y=(x-1)^2$, $0 \le x \le 1$, нужно провести касательную к графику, чтобы площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, была наименьшей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Задача состоит в том, чтобы найти такую точку на графике функции $y=(x-1)^2$ в пределах отрезка $0 \le x \le 1$, касательная в которой образует с осями координат треугольник наименьшей площади.

Пусть искомая точка касания имеет абсциссу $x_0 = a$, где $a \in [0, 1]$. Ордината этой точки на графике функции равна $y_0 = (a-1)^2$.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0=a$ имеет вид $y = f(a) + f'(a)(x-a)$. Для нашей функции $f(x) = (x-1)^2$:

• Значение функции в точке касания: $f(a) = (a-1)^2$.
• Производная функции: $f'(x) = ((x-1)^2)' = 2(x-1)$.
• Значение производной в точке касания (угловой коэффициент касательной): $f'(a) = 2(a-1)$.

Подставив эти значения, получаем уравнение касательной: $y = (a-1)^2 + 2(a-1)(x-a)$

Для вычисления площади треугольника, ограниченного касательной и осями координат, найдем точки пересечения касательной с осями $Ox$ и $Oy$.

Точка пересечения с осью $Oy$ (осью ординат) находится при $x=0$: $y_{int} = (a-1)^2 + 2(a-1)(-a) = a^2 - 2a + 1 - 2a^2 + 2a = 1-a^2$. Координаты точки пересечения: $(0, 1-a^2)$.

Точка пересечения с осью $Ox$ (осью абсцисс) находится при $y=0$: $0 = (a-1)^2 + 2(a-1)(x-a)$ Вынесем общий множитель $(a-1)$: $0 = (a-1)[(a-1) + 2(x-a)]$ $0 = (a-1)(a-1+2x-2a)$ $0 = (a-1)(2x-a-1)$

Это уравнение дает два возможных случая в зависимости от значения $a$:
1. Если $a=1$, точка касания — $(1, 0)$. Уравнение касательной становится $y = (1-1)^2 + 2(1-1)(x-1)$, что упрощается до $y=0$. Эта касательная совпадает с осью $Ox$. Площадь треугольника, образованного касательной и осями координат, в этом случае является вырожденной и равна 0.
2. Если $a \in [0, 1)$, то множитель $(a-1)$ не равен нулю, и мы можем разделить на него. Тогда $2x-a-1=0$, откуда находим абсциссу точки пересечения: $x_{int} = \frac{a+1}{2}$. Координаты точки пересечения: $(\frac{a+1}{2}, 0)$.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника, образованного касательной и осями, является функцией от $a$. Длины катетов равны модулям отрезков, отсекаемых на осях: $|x_{int}|$ и $|y_{int}|$. Поскольку $a \in [0, 1)$, то $x_{int} = \frac{a+1}{2} > 0$ и $y_{int} = 1-a^2 \ge 0$. $S(a) = \frac{1}{2} \cdot x_{int} \cdot y_{int} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a+1}{2} \cdot (1-a^2) = \frac{(a+1)(1-a)(1+a)}{4} = \frac{(1-a)(a+1)^2}{4}$.

Теперь нам необходимо найти наименьшее значение функции $S(a)$ на отрезке $[0, 1]$. Для этого найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках внутри него.
Значения на концах отрезка:

• При $a=0$: $S(0) = \frac{(1-0)(0+1)^2}{4} = \frac{1}{4}$.
• При $a=1$: $S(1) = \frac{(1-1)(1+1)^2}{4} = 0$.

Найдем критические точки, вычислив производную $S'(a)$ и приравняв ее к нулю. $S(a) = \frac{1}{4}(1+a-a^2-a^3)$ $S'(a) = \frac{1}{4}(1 - 2a - 3a^2)$. $S'(a) = 0 \implies 3a^2+2a-1=0$. Решая квадратное уравнение, получаем корни $a_1 = \frac{1}{3}$ и $a_2 = -1$. Отрезку $[0, 1]$ принадлежит только одна критическая точка $a=1/3$.

Вычислим значение площади в этой точке: $S(\frac{1}{3}) = \frac{(1-1/3)(1/3+1)^2}{4} = \frac{(2/3)(4/3)^2}{4} = \frac{2/3 \cdot 16/9}{4} = \frac{32/27}{4} = \frac{8}{27}$.

Сравним все полученные значения площади: $S(0) = 1/4$, $S(1/3) = 8/27$ и $S(1)=0$. Поскольку $1/4 = 0.25$, а $8/27 \approx 0.296$, наименьшим значением является $S=0$.

Наименьшая площадь достигается при $a=1$. Точка на графике, соответствующая этому значению, имеет координаты $x=1$, $y=(1-1)^2=0$.

Ответ: $(1, 0)$.