Номер 1110, страница 352 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1110, страница 352.

Условие.

1110. На параболе $y=2x^2-3x+8$ найти точки, касательные в которых проходят через начало координат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи найдем уравнение касательной к параболе $y = 2x^2 - 3x + 8$ в произвольной точке $(x_0, y_0)$, а затем используем условие, что эта касательная проходит через начало координат $(0, 0)$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае функция $f(x) = 2x^2 - 3x + 8$.

1. Найдем производную функции: $f'(x) = (2x^2 - 3x + 8)' = 4x - 3$.

2. Составим уравнение касательной. Для этого найдем значение функции и ее производной в точке $x_0$: $f(x_0) = 2x_0^2 - 3x_0 + 8$
$f'(x_0) = 4x_0 - 3$

Подставим эти выражения в общее уравнение касательной: $y = (2x_0^2 - 3x_0 + 8) + (4x_0 - 3)(x - x_0)$.

3. Используем условие, что касательная проходит через начало координат. Это означает, что точка $(0, 0)$ удовлетворяет уравнению касательной. Подставим $x=0$ и $y=0$: $0 = (2x_0^2 - 3x_0 + 8) + (4x_0 - 3)(0 - x_0)$.

4. Решим полученное уравнение относительно $x_0$: $0 = 2x_0^2 - 3x_0 + 8 - x_0(4x_0 - 3)$
$0 = 2x_0^2 - 3x_0 + 8 - 4x_0^2 + 3x_0$
$0 = -2x_0^2 + 8$
$2x_0^2 = 8$
$x_0^2 = 4$
$x_0 = \pm 2$.

Мы нашли две абсциссы точек касания: $x_0 = 2$ и $x_0 = -2$.

5. Найдем соответствующие ординаты этих точек, подставив значения $x_0$ в исходное уравнение параболы $y = 2x^2 - 3x + 8$:

Если $x_0 = 2$, то: $y_0 = 2(2)^2 - 3(2) + 8 = 2 \cdot 4 - 6 + 8 = 8 - 6 + 8 = 10$.
Первая точка: $(2, 10)$.

Если $x_0 = -2$, то: $y_0 = 2(-2)^2 - 3(-2) + 8 = 2 \cdot 4 + 6 + 8 = 8 + 6 + 8 = 22$.
Вторая точка: $(-2, 22)$.

Таким образом, на параболе существуют две точки, касательные в которых проходят через начало координат.

Ответ: $(2, 10)$ и $(-2, 22)$.