Номер 1104, страница 351 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1104, страница 351.

Условие.

1104. Найти все значения x, при которых касательные к графикам функций
$y = 3\cos 5x$ и $y = 5\cos 3x + 2$
в точках с абсциссой x параллельны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Условие параллельности касательных к графикам функций в точках с одной и той же абсциссой $x$ заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x$ равен значению производной этой функции в данной точке.

Обозначим данные функции как $f(x) = 3\cos{5x}$ и $g(x) = 5\cos{3x} + 2$.

Сначала найдем производную первой функции $f(x)$. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем: $f'(x) = (3\cos{5x})' = 3 \cdot (-\sin{5x}) \cdot (5x)' = -15\sin{5x}$.

Теперь найдем производную второй функции $g(x)$: $g'(x) = (5\cos{3x} + 2)' = (5\cos{3x})' + (2)' = 5 \cdot (-\sin{3x}) \cdot (3x)' + 0 = -15\sin{3x}$.

Касательные параллельны, если их угловые коэффициенты равны, то есть $f'(x) = g'(x)$. Составим уравнение: $-15\sin{5x} = -15\sin{3x}$

Разделим обе части уравнения на $-15$: $\sin{5x} = \sin{3x}$

Перенесем все слагаемые в левую часть: $\sin{5x} - \sin{3x} = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности синусов: $\sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}$. Применим эту формулу, где $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$: $2\sin{\frac{5x-3x}{2}}\cos{\frac{5x+3x}{2}} = 0$ $2\sin{\frac{2x}{2}}\cos{\frac{8x}{2}} = 0$ $2\sin{x}\cos{4x} = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два независимых уравнения:
1) $\sin{x} = 0$
2) $\cos{4x} = 0$

Решим первое уравнение: $\sin{x} = 0$ Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ ( $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел).

Решим второе уравнение: $\cos{4x} = 0$ Решением этого уравнения является серия корней: $4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения обоих уравнений, получаем все значения $x$, при которых касательные параллельны.

Ответ: $x = \pi k$, $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.