Номер 1098, страница 351 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1098, страница 351.

Условие.

1098. 1) $y=\sqrt{x}$, $y=2$, $x=9$;

2) $y=x^2+3$, $y=x+5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\sqrt{x}$, $y=2$ и $x=9$.

Сначала найдем точки пересечения данных линий, чтобы определить границы области интегрирования.

1. Пересечение $y=\sqrt{x}$ и $y=2$:
$\sqrt{x} = 2 \implies x = 4$. Точка пересечения: $(4, 2)$.

2. Пересечение $y=\sqrt{x}$ и $x=9$:
$y = \sqrt{9} = 3$. Точка пересечения: $(9, 3)$.

3. Пересечение $y=2$ и $x=9$:
Точка пересечения: $(9, 2)$.

Фигура представляет собой криволинейную трапецию. На промежутке $x \in [4, 9]$ график функции $y=\sqrt{x}$ находится выше прямой $y=2$, так как, например, при $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$, что больше 2.

Площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции $f(x)$ и снизу графиком функции $g(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:
$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \,dx$

В нашем случае $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = 2$, $a=4$ и $b=9$.
Подставляем эти значения в формулу:
$S = \int_{4}^{9} (\sqrt{x} - 2) \,dx$

Вычисляем интеграл:
$S = \int_{4}^{9} (x^{1/2} - 2) \,dx = \left( \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - 2x \right) \Big|_4^9 = \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2x \right) \Big|_4^9 = \left( \frac{2}{3}x^{3/2} - 2x \right) \Big|_4^9$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left( \frac{2}{3}(9)^{3/2} - 2 \cdot 9 \right) - \left( \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 2 \cdot 4 \right)$
$S = \left( \frac{2}{3} \cdot 27 - 18 \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 8 - 8 \right)$
$S = (18