Номер 1098, страница 351 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

1098. 1) $y=\sqrt{x}$, $y=2$, $x=9$;

2) $y=x^2+3$, $y=x+5$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, используется определенный интеграл. Сначала необходимо определить пределы интегрирования, найдя точки пересечения графиков.

1) $y = \sqrt{x}$, $y = 2$, $x = 9$

1. Найдем точку пересечения $y = \sqrt{x}$ и $y = 2$:
   $\sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$.
2. Определим границы и положение графиков:
   На интервале $[4; 9]$ график функции $y = \sqrt{x}$ расположен выше прямой $y = 2$ (например, при $x=9$, $\sqrt{9}=3 > 2$). Третья линия $x=9$ является вертикальной правой границей.
3. Составим и вычислим интеграл: $$S = \int_{4}^{9} (\sqrt{x} - 2) dx = \int_{4}^{9} (x^{1/2} - 2) dx$$ $$S = \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2x \right) \Big|_{4}^{9} = \left( \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x \right) \Big|_{4}^{9}$$ $$S = \left( \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot 3 - 2 \cdot 9 \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 2 - 2 \cdot 4 \right)$$ $$S = (18 - 18) - \left( \frac{16}{3} - 8 \right) = 0 - (5\frac{1}{3} - 8) = -(-2\frac{2}{3}) = 2\frac{2}{3}$$

Ответ: $2\frac{2}{3}$ (или $\approx 2,67$)

2) $y = x^2 + 3$, $y = x + 5$

1. Найдем точки пересечения графиков:
   $x^2 + 3 = x + 5 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0$.
   По теореме Виета: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$. Это наши пределы интегрирования.
2. Определим, какая функция выше:
   Возьмем пробную точку $x = 0$ внутри интервала $[-1; 2]$.
   $y_1 = 0^2 + 3 = 3$; $y_2 = 0 + 5 = 5$. Прямая $y = x + 5$ находится сверху.
3. Составим и вычислим интеграл: $$S = \int_{-1}^{2} ((x + 5) - (x^2 + 3)) dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$$ $$S = \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right) \Big|_{-1}^{2}$$ $$S = \left( -\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 \right) - \left( -\frac{(-1)}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)$$ $$S = \left( -2\frac{2}{3} + 6 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) = 3\frac{1}{3} - (-1\frac{1}{6})$$ $$S = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20 + 7}{6} = \frac{27}{6} = 4,5$$

Ответ: 4,5