Номер 1091, страница 350 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1091, страница 350.

Условие.

1091. Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен $p$, выбран цилиндр наибольшего объёма. Найти этот объём.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $2r$ и высоте $h$. Периметр этого прямоугольника по условию задачи равен $p$.

Запишем формулу для периметра осевого сечения: $P = 2(2r + h) = p$

Объём цилиндра $V$, который нам необходимо максимизировать, вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$

Для решения этой задачи оптимизации, выразим одну из переменных (например, $h$) через другую ($r$) из формулы периметра и подставим в формулу объёма. Из $2(2r + h) = p$ получаем $2r + h = \frac{p}{2}$, откуда $h = \frac{p}{2} - 2r$.

Подставим полученное выражение для $h$ в формулу объёма, чтобы получить функцию, зависящую только от одной переменной $r$: $V(r) = \pi r^2 \left(\frac{p}{2} - 2r\right) = \frac{\pi p}{2} r^2 - 2\pi r^3$

Для нахождения максимального значения функции $V(r)$, найдём её производную по переменной $r$ и приравняем её к нулю. $V'(r) = \frac{d}{dr}\left(\frac{\pi p}{2} r^2 - 2\pi r^3\right) = \frac{\pi p}{2} \cdot 2r - 2\pi \cdot 3r^2 = \pi p r - 6\pi r^2$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $\pi p r - 6\pi r^2 = 0$ Вынесем общий множитель $\pi r$ за скобки: $\pi r(p - 6r) = 0$

Так как радиус цилиндра $r$ по смыслу задачи не может быть равен нулю ($r>0$), то решением уравнения будет: $p - 6r = 0 \implies 6r = p \implies r = \frac{p}{6}$

Найденное значение $r$ соответствует точке максимума объёма (что можно дополнительно проверить с помощью знака второй производной). Теперь найдём соответствующую этому радиусу высоту $h$: $h = \frac{p}{2} - 2r = \frac{p}{2} - 2\left(\frac{p}{6}\right) = \frac{p}{2} - \frac{p}{3} = \frac{3p - 2p}{6} = \frac{p}{6}$

Наконец, вычислим наибольший возможный объём, подставив найденные значения $r = \frac{p}{6}$ и $h = \frac{p}{6}$ в исходную формулу объёма: $V_{\text{max}} = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{p}{6}\right)^2 \left(\frac{p}{6}\right) = \pi \cdot \frac{p^2}{36} \cdot \frac{p}{6} = \frac{\pi p^3}{216}$

Ответ: $\frac{\pi p^3}{216}$