Номер 1091, страница 350 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1091, страница 350.
№1091 (с. 350)
Условие. №1091 (с. 350)
скриншот условия

1091. Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен $p$, выбран цилиндр наибольшего объёма. Найти этот объём.
Решение 1. №1091 (с. 350)

Решение 2. №1091 (с. 350)

Решение 3. №1091 (с. 350)
Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $2r$ и высоте $h$. Периметр этого прямоугольника по условию задачи равен $p$.
Запишем формулу для периметра осевого сечения: $P = 2(2r + h) = p$
Объём цилиндра $V$, который нам необходимо максимизировать, вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$
Для решения этой задачи оптимизации, выразим одну из переменных (например, $h$) через другую ($r$) из формулы периметра и подставим в формулу объёма. Из $2(2r + h) = p$ получаем $2r + h = \frac{p}{2}$, откуда $h = \frac{p}{2} - 2r$.
Подставим полученное выражение для $h$ в формулу объёма, чтобы получить функцию, зависящую только от одной переменной $r$: $V(r) = \pi r^2 \left(\frac{p}{2} - 2r\right) = \frac{\pi p}{2} r^2 - 2\pi r^3$
Для нахождения максимального значения функции $V(r)$, найдём её производную по переменной $r$ и приравняем её к нулю. $V'(r) = \frac{d}{dr}\left(\frac{\pi p}{2} r^2 - 2\pi r^3\right) = \frac{\pi p}{2} \cdot 2r - 2\pi \cdot 3r^2 = \pi p r - 6\pi r^2$
Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $\pi p r - 6\pi r^2 = 0$ Вынесем общий множитель $\pi r$ за скобки: $\pi r(p - 6r) = 0$
Так как радиус цилиндра $r$ по смыслу задачи не может быть равен нулю ($r>0$), то решением уравнения будет: $p - 6r = 0 \implies 6r = p \implies r = \frac{p}{6}$
Найденное значение $r$ соответствует точке максимума объёма (что можно дополнительно проверить с помощью знака второй производной). Теперь найдём соответствующую этому радиусу высоту $h$: $h = \frac{p}{2} - 2r = \frac{p}{2} - 2\left(\frac{p}{6}\right) = \frac{p}{2} - \frac{p}{3} = \frac{3p - 2p}{6} = \frac{p}{6}$
Наконец, вычислим наибольший возможный объём, подставив найденные значения $r = \frac{p}{6}$ и $h = \frac{p}{6}$ в исходную формулу объёма: $V_{\text{max}} = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{p}{6}\right)^2 \left(\frac{p}{6}\right) = \pi \cdot \frac{p^2}{36} \cdot \frac{p}{6} = \frac{\pi p^3}{216}$
Ответ: $\frac{\pi p^3}{216}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1091 расположенного на странице 350 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1091 (с. 350), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.