Номер 1089, страница 350 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1089, страница 350.

Условие.

1089. Найти высоту конуса наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса $R$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус шара, а $h$ и $r$ — высота и радиус основания вписанного конуса соответственно. Нам нужно найти такое значение $h$, при котором объём конуса $V$ будет максимальным.

Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Сечением шара является круг радиуса $R$, а сечением конуса — равнобедренный треугольник, вписанный в этот круг. Высота этого треугольника равна высоте конуса $h$, а половина его основания — радиусу основания конуса $r$.

Свяжем размеры конуса ($r$ и $h$) с радиусом шара $R$. Пусть центр шара является началом координат. Ось конуса совпадает с одной из координатных осей. Высота конуса $h$ и радиус его основания $r$ связаны с радиусом шара $R$ через теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), радиусом основания конуса $r$ (катет) и расстоянием от центра шара до плоскости основания конуса (второй катет). Это расстояние равно $|h - R|$.

Таким образом, мы имеем соотношение:

$r^2 + (h - R)^2 = R^2$

Раскроем скобки и выразим $r^2$ через $h$ и $R$:

$r^2 + h^2 - 2hR + R^2 = R^2$

$r^2 = 2hR - h^2$

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Подставим в неё полученное выражение для $r^2$, чтобы получить функцию объёма, зависящую только от высоты $h$:

$V(h) = \frac{1}{3}\pi (2hR - h^2)h = \frac{\pi}{3}(2Rh^2 - h^3)$

Чтобы найти наибольший объём, необходимо найти максимум функции $V(h)$. Для этого найдем её производную по $h$ и приравняем к нулю. Заметим, что высота конуса $h$ может изменяться в пределах от $0$ до $2R$.

$V'(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{\pi}{3}(2Rh^2 - h^3) \right) = \frac{\pi}{3}(2R \cdot 2h - 3h^2) = \frac{\pi}{3}(4Rh - 3h^2)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$\frac{\pi}{3}(4Rh - 3h^2) = 0$

$h(4R - 3h) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $h_1=0$ и $h_2 = \frac{4R}{3}$.

Значение $h=0$ соответствует конусу с нулевым объёмом, что является минимумом. Значение $h = \frac{4R}{3}$ находится в допустимом интервале $(0, 2R)$ и является точкой возможного экстремума.

Чтобы убедиться, что эта точка является точкой максимума, можно использовать вторую производную:

$V''(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{\pi}{3}(4Rh - 3h^2) \right) = \frac{\pi}{3}(4R - 6h)$

Вычислим значение второй производной в точке $h = \frac{4R}{3}$:

$V''\left(\frac{4R}{3}\right) = \frac{\pi}{3}\left(4R - 6\cdot\frac{4R}{3}\right) = \frac{\pi}{3}(4R - 8R) = -\frac{4\pi R}{3}$

Поскольку радиус шара $R > 0$, вторая производная отрицательна. Это означает, что при $h = \frac{4R}{3}$ объём конуса достигает своего максимального значения.

Ответ: $\frac{4R}{3}$.