Номер 1083, страница 350 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1083, страница 350.

Условие.

1083. На координатной плоскости дана точка $K(3; 6)$. Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси $Oy$ и лежат на параболе $y = 4x^2$, заданной на отрезке $[-1; 1]$, а точка $K$ — середина одной из сторон. Из этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть вершины треугольника – точки A, B и C. Согласно условию, две вершины симметричны относительно оси $Oy$ и лежат на параболе $y = 4x^2$. Обозначим эти вершины как A и B.

Пусть абсцисса точки A равна $t$. Тогда её ордината будет $y_A = 4t^2$. Так как точка B симметрична точке A относительно оси $Oy$, её координаты будут $(-t, 4t^2)$. По условию, абсциссы этих точек лежат на отрезке $[-1; 1]$, следовательно, $t \in [-1; 1]$. Без ограничения общности будем считать, что $t \in [0; 1]$ (так как пара точек $(t, 4t^2)$ и $(-t, 4t^2)$ будет той же самой, что и пара $(-t, 4(-t)^2)$ и $(t, 4t^2)$).

Итак, имеем координаты вершин: $A(t, 4t^2)$, $B(-t, 4t^2)$, где $t \in [0; 1]$. Координаты третьей вершины C обозначим как $(x_C, y_C)$.

Точка $K(3; 6)$ является серединой одной из сторон треугольника. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Точка K – середина стороны AB.
Координаты середины отрезка AB находятся по формулам: $x_K = \frac{t + (-t)}{2} = 0$, $y_K = \frac{4t^2 + 4t^2}{2} = 4t^2$. Приравнивая их к координатам точки K, получаем систему: $0 = 3$ $4t^2 = 6$ Первое уравнение не имеет решений, значит, этот случай невозможен.

2. Точка K – середина стороны AC.
Координаты середины отрезка AC: $x_K = \frac{t + x_C}{2}$, $y_K = \frac{4t^2 + y_C}{2}$. Приравнивая их к координатам точки K, получаем систему: $\frac{t + x_C}{2} = 3 \Rightarrow t + x_C = 6 \Rightarrow x_C = 6 - t$ $\frac{4t^2 + y_C}{2} = 6 \Rightarrow 4t^2 + y_C = 12 \Rightarrow y_C = 12 - 4t^2$ Таким образом, координаты вершины C: $(6 - t, 12 - 4t^2)$.

3. Точка K – середина стороны BC.
Координаты середины отрезка BC: $x_K = \frac{-t + x_C}{2}$, $y_K = \frac{4t^2 + y_C}{2}$. Приравнивая их к координатам точки K, получаем систему: $\frac{-t + x_C}{2} = 3 \Rightarrow -t + x_C = 6 \Rightarrow x_C = 6 + t$ $\frac{4t^2 + y_C}{2} = 6 \Rightarrow 4t^2 + y_C = 12 \Rightarrow y_C = 12 - 4t^2$ Таким образом, координаты вершины C: $(6 + t, 12 - 4t^2)$.

Теперь найдем площадь треугольника ABC. Основание AB параллельно оси $Ox$, его длина равна $|t - (-t)| = 2t$. Высота треугольника, проведенная из вершины C к основанию AB, равна разности ординат вершины C и прямой, на которой лежит основание AB ($y = 4t^2$). Высота $h = |y_C - 4t^2| = |(12 - 4t^2) - 4t^2| = |12 - 8t^2|$. Поскольку $t \in [0; 1]$, то $t^2 \in [0; 1]$, и $8t^2 \in [0; 8]$. Следовательно, выражение $12 - 8t^2$ всегда положительно. Значит, $h = 12 - 8t^2$.

Площадь треугольника $S$ как функция от $t$: $S(t) = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2t) \cdot (12 - 8t^2) = t(12 - 8t^2) = 12t - 8t^3$. Заметим, что формула для площади одинакова для случаев 2 и 3.

Нам необходимо найти наибольшее значение функции $S(t) = 12t - 8t^3$ на отрезке $t \in [0; 1]$. Для этого найдем производную функции $S(t)$ по $t$: $S'(t) = (12t - 8t^3)' = 12 - 24t^2$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $12 - 24t^2 = 0$ $24t^2 = 12$ $t^2 = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ $t = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Отрицательный корень не рассматриваем, так как $t \in [0; 1]$. Найденная критическая точка $t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ принадлежит отрезку $[0; 1]$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, можно проверить знак производной. При $t < \frac{\sqrt{2}}{2}$ производная $S'(t) > 0$ (функция возрастает), а при $t > \frac{\sqrt{2}}{2}$ производная $S'(t) < 0$ (функция убывает). Следовательно, $t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ является точкой максимума.

Найдем значения площади в этой точке и на концах отрезка $[0; 1]$: $S(0) = 12(0) - 8(0)^3 = 0$. $S(1) = 12(1) - 8(1)^3 = 12 - 8 = 4$. $S(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 12\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 8\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = 6\sqrt{2} - 8\left(\frac{2\sqrt{2}}{8}\right) = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Сравним полученные значения: $0$, $4$ и $4\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $4\sqrt{2} \approx 5.656$, что больше 4. Следовательно, наибольшая площадь треугольника равна $4\sqrt{2}$.

Ответ: $4\sqrt{2}$.