Номер 1079, страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1079, страница 349.

Условие.

1079. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

$f(x) = x^2(2x - 3) - 12(3x - 2)$

на отрезке $-3 \le x \le 6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в его критических точках, принадлежащих отрезку, а затем выбрать из полученных значений самое большое и самое маленькое.

1. Заданная функция: $f(x) = x^2(2x - 3) - 12(3x - 2)$.

Сначала упростим выражение функции, раскрыв скобки:

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 24$

2. Теперь найдем производную функции $f(x)$, чтобы определить критические точки:

$f'(x) = (2x^3 - 3x^2 - 36x + 24)'$

$f'(x) = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x - 36$

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 36$

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение $f'(x) = 0$:

$6x^2 - 6x - 36 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 6:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Используя теорему Виета (или формулу корней), находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим, принадлежат ли найденные критические точки заданному отрезку $[-3, 6]$.

Точка $x = 3$ принадлежит отрезку $[-3, 6]$.

Точка $x = -2$ также принадлежит отрезку $[-3, 6]$.

4. Вычислим значения функции $f(x)$ на концах отрезка (в точках $x=-3$ и $x=6$) и в найденных критических точках ($x=-2$ и $x=3$):

• При $x = -3$:
  $f(-3) = 2(-3)^3 - 3(-3)^2 - 36(-3) + 24 = 2(-27) - 3(9) + 108 + 24 = -54 - 27 + 108 + 24 = 51$
• При $x = -2$:
  $f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 36(-2) + 24 = 2(-8) - 3(4) + 72 + 24 = -16 - 12 + 72 + 24 = 68$
• При $x = 3$:
  $f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 36(3) + 24 = 2(27) - 3(9) - 108 + 24 = 54 - 27 - 108 + 24 = -57$
• При $x = 6$:
  $f(6) = 2(6)^3 - 3(6)^2 - 36(6) + 24 = 2(216) - 3(36) - 216 + 24 = 432 - 108 - 216 + 24 = 132$

5. Теперь сравним все вычисленные значения функции: $51, 68, -57, 132$.

Наибольшее значение функции

Выбираем самое большое из полученных значений. Это 132.

Ответ: 132.

Наименьшее значение функции

Выбираем самое маленькое из полученных значений. Это -57.

Ответ: -57.