Номер 1072, страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1072, страница 349.

Условие.

1072. 1) $y = - \frac{x^4}{4} + x^2;$

2) $y = x^4 - 2x^2 - 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Проведем полное исследование функции $y = -\frac{x^4}{4} + x^2$.

1. Область определения функции.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность функции.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = -\frac{(-x)^4}{4} + (-x)^2 = -\frac{x^4}{4} + x^2 = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY: $x=0 \Rightarrow y(0) = -\frac{0}{4} + 0 = 0$. Точка пересечения $(0; 0)$.
- С осью OX: $y=0 \Rightarrow -\frac{x^4}{4} + x^2 = 0$.
$x^2(-\frac{x^2}{4} + 1) = 0$.
Отсюда $x^2 = 0 \Rightarrow x=0$ или $-\frac{x^2}{4} + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
Точки пересечения $(-2; 0)$, $(0; 0)$, $(2; 0)$.

4. Асимптоты.
Так как функция является многочленом, вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную:
$y' = \left(-\frac{x^4}{4} + x^2\right)' = -\frac{1}{4} \cdot 4x^3 + 2x = -x^3 + 2x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$-x^3 + 2x = 0 \Rightarrow x(-x^2 + 2) = 0$.
$x=0$ или $x^2=2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$.
Критические точки: $x = -\sqrt{2}$, $x = 0$, $x = \sqrt{2}$.
Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}; 0)$, $(0; \sqrt{2})$, $(\sqrt{2}; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -\sqrt{2})$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-\sqrt{2}; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0; \sqrt{2})$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (\sqrt{2}; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x = -\sqrt{2}$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка максимума. $y_{max} = y(-\sqrt{2}) = -\frac{(-\sqrt{2})^4}{4} + (-\sqrt{2})^2 = -\frac{4}{4} + 2 = 1$.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 0$.
В точке $x = \sqrt{2}$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка максимума. $y_{max} = y(\sqrt{2}) = -\frac{(\sqrt{2})^4}{4} + (\sqrt{2})^2 = 1$.
Точки экстремума: $(-\sqrt{2}; 1)$ - максимум, $(0; 0)$ - минимум, $(\sqrt{2}; 1)$ - максимум.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.
Найдем вторую производную:
$y'' = (-x^3 + 2x)' = -3x^2 + 2$.
Найдем точки, где вторая производная равна нулю:
$-3x^2 + 2 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$.
Исследуем знак второй производной:
- При $x \in (-\infty; -\sqrt{2/3})$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх.
- При $x \in (-\sqrt{2/3}; \sqrt{2/3})$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).
- При $x \in (\sqrt{2/3}; +\infty)$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх.
Точки $x = \pm\sqrt{2/3}$ являются точками перегиба.
Найдем значения функции в этих точках: $y(\pm\sqrt{2/3}) = -\frac{(\sqrt{2/3})^4}{4} + (\sqrt{2/3})^2 = -\frac{4/9}{4} + \frac{2}{3} = -\frac{1}{9} + \frac{6}{9} = \frac{5}{9}$.
Точки перегиба: $(-\sqrt{2/3}; 5/9)$ и $(\sqrt{2/3}; 5/9)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{2}]$ и $[0; \sqrt{2}]$, убывает на $[-\sqrt{2}; 0]$ и $[\sqrt{2}; +\infty)$. Точки максимума: $(-\sqrt{2}; 1)$ и $(\sqrt{2}; 1)$. Точка минимума: $(0; 0)$. График выпуклый вверх на $(-\infty; -\sqrt{2/3})$ и $(\sqrt{2/3}; +\infty)$, выпуклый вниз на $(-\sqrt{2/3}; \sqrt{2/3})$. Точки перегиба: $(\pm\sqrt{2/3}; 5/9)$.

2)

Проведем полное исследование функции $y = x^4 - 2x^2 - 3$.

1. Область определения функции.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность функции.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 - 3 = x^4 - 2x^2 - 3 = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY: $x=0 \Rightarrow y(0) = 0 - 0 - 3 = -3$. Точка пересечения $(0; -3)$.
- С осью OX: $y=0 \Rightarrow x^4 - 2x^2 - 3 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):
$t^2 - 2t - 3 = 0$.
По теореме Виета $t_1 = 3$, $t_2 = -1$. Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Возвращаемся к замене: $x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$.
Точки пересечения $(-\sqrt{3}; 0)$ и $(\sqrt{3}; 0)$.

4. Асимптоты.
Так как функция является многочленом, асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную:
$y' = (x^4 - 2x^2 - 3)' = 4x^3 - 4x$.
Найдем критические точки:
$4x^3 - 4x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow 4x(x-1)(x+1) = 0$.
Критические точки: $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$.
Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -1)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-1; 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (0; 1)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.
$x = -1$ - точка минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
$x = 0$ - точка максимума. $y_{max} = y(0) = -3$.
$x = 1$ - точка минимума. $y_{min} = y(1) = 1^4 - 2(1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Точки экстремума: $(-1; -4)$ - минимум, $(0; -3)$ - максимум, $(1; -4)$ - минимум.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.
Найдем вторую производную:
$y'' = (4x^3 - 4x)' = 12x^2 - 4$.
Найдем точки, где $y''=0$:
$12x^2 - 4 = 0 \Rightarrow 12x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Исследуем знак второй производной:
- При $x \in (-\infty; -1/\sqrt{3})$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).
- При $x \in (-1/\sqrt{3}; 1/\sqrt{3})$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх.
- При $x \in (1/\sqrt{3}; +\infty)$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).
Точки $x = \pm 1/\sqrt{3}$ являются точками перегиба.
Найдем значения функции в этих точках: $y(\pm 1/\sqrt{3}) = (1/3)^2 - 2(1/3) - 3 = 1/9 - 2/3 - 3 = \frac{1-6-27}{9} = -\frac{32}{9}$.
Точки перегиба: $(-1/\sqrt{3}; -32/9)$ и $(1/\sqrt{3}; -32/9)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$. Точка максимума: $(0; -3)$. Точки минимума: $(-1; -4)$ и $(1; -4)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; -1/\sqrt{3})$ и $(1/\sqrt{3}; +\infty)$, выпуклый вверх на $(-1/\sqrt{3}; 1/\sqrt{3})$. Точки перегиба: $(\pm 1/\sqrt{3}; -32/9)$.