Номер 1075, страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1075, страница 349.
№1075 (с. 349)
Условие. №1075 (с. 349)
скриншот условия

1075. Найти наибольший возможный объём цилиндра, площадь полной поверхности которого равна $54\pi$ см$^2$, если известно, что радиус основания не меньше 2 см и не больше 4 см.
Решение 1. №1075 (с. 349)

Решение 2. №1075 (с. 349)

Решение 3. №1075 (с. 349)
Для решения задачи нам нужно найти наибольшее значение функции объёма цилиндра при заданных ограничениях.
Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$.
Объём цилиндра вычисляется по формуле:
$V = \pi r^2 h$
Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности (прямоугольника):
$S_{полн} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h$
По условию задачи, площадь полной поверхности равна $54\pi \text{ см}^2$, а радиус основания находится в пределах от 2 см до 4 см:
$S_{полн} = 54\pi$
$2 \le r \le 4$
Подставим значение площади в формулу и выразим высоту $h$ через радиус $r$:
$54\pi = 2\pi r^2 + 2\pi r h$
Разделим обе части уравнения на $2\pi$:
$27 = r^2 + rh$
$rh = 27 - r^2$
$h = \frac{27 - r^2}{r} = \frac{27}{r} - r$
Так как высота $h$ должна быть положительной, то $h > 0$, что означает $\frac{27}{r} - r > 0$, или $r^2 < 27$. Это условие ($r < \sqrt{27} \approx 5.2$) выполняется для всего заданного диапазона $2 \le r \le 4$.
Теперь подставим выражение для $h$ в формулу объёма, чтобы получить функцию объёма $V$ от одной переменной $r$:
$V(r) = \pi r^2 h = \pi r^2 \left( \frac{27 - r^2}{r} \right) = \pi r (27 - r^2) = 27\pi r - \pi r^3$
Нам нужно найти наибольшее значение функции $V(r) = 27\pi r - \pi r^3$ на отрезке $[2, 4]$.
Для этого найдём производную функции $V(r)$ по переменной $r$ и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки:
$V'(r) = (27\pi r - \pi r^3)' = 27\pi - 3\pi r^2$
Приравняем производную к нулю:
$27\pi - 3\pi r^2 = 0$
$3\pi r^2 = 27\pi$
$r^2 = 9$
$r = 3$ (так как радиус не может быть отрицательным)
Критическая точка $r = 3$ принадлежит отрезку $[2, 4]$.
Теперь, чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно вычислить значения функции в критической точке и на концах отрезка:
1. При $r = 2$ (нижняя граница):
$V(2) = 27\pi(2) - \pi(2)^3 = 54\pi - 8\pi = 46\pi$
2. При $r = 3$ (критическая точка):
$V(3) = 27\pi(3) - \pi(3)^3 = 81\pi - 27\pi = 54\pi$
3. При $r = 4$ (верхняя граница):
$V(4) = 27\pi(4) - \pi(4)^3 = 108\pi - 64\pi = 44\pi$
Сравнивая полученные значения объёма ($46\pi$, $54\pi$, $44\pi$), мы видим, что наибольшее значение достигается при $r=3$ см.
Таким образом, наибольший возможный объём цилиндра составляет $54\pi \text{ см}^3$.
Ответ: Наибольший возможный объём цилиндра равен $54\pi \text{ см}^3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1075 расположенного на странице 349 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1075 (с. 349), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.