Номер 1075, страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1075, страница 349.

Условие.

1075. Найти наибольший возможный объём цилиндра, площадь полной поверхности которого равна $54\pi$ см$^2$, если известно, что радиус основания не меньше 2 см и не больше 4 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи нам нужно найти наибольшее значение функции объёма цилиндра при заданных ограничениях.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$.

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

$V = \pi r^2 h$

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности (прямоугольника):

$S_{полн} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h$

По условию задачи, площадь полной поверхности равна $54\pi \text{ см}^2$, а радиус основания находится в пределах от 2 см до 4 см:

$S_{полн} = 54\pi$

$2 \le r \le 4$

Подставим значение площади в формулу и выразим высоту $h$ через радиус $r$:

$54\pi = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

Разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$27 = r^2 + rh$

$rh = 27 - r^2$

$h = \frac{27 - r^2}{r} = \frac{27}{r} - r$

Так как высота $h$ должна быть положительной, то $h > 0$, что означает $\frac{27}{r} - r > 0$, или $r^2 < 27$. Это условие ($r < \sqrt{27} \approx 5.2$) выполняется для всего заданного диапазона $2 \le r \le 4$.

Теперь подставим выражение для $h$ в формулу объёма, чтобы получить функцию объёма $V$ от одной переменной $r$:

$V(r) = \pi r^2 h = \pi r^2 \left( \frac{27 - r^2}{r} \right) = \pi r (27 - r^2) = 27\pi r - \pi r^3$

Нам нужно найти наибольшее значение функции $V(r) = 27\pi r - \pi r^3$ на отрезке $[2, 4]$.

Для этого найдём производную функции $V(r)$ по переменной $r$ и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки:

$V'(r) = (27\pi r - \pi r^3)' = 27\pi - 3\pi r^2$

Приравняем производную к нулю:

$27\pi - 3\pi r^2 = 0$

$3\pi r^2 = 27\pi$

$r^2 = 9$

$r = 3$ (так как радиус не может быть отрицательным)

Критическая точка $r = 3$ принадлежит отрезку $[2, 4]$.

Теперь, чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно вычислить значения функции в критической точке и на концах отрезка:

1. При $r = 2$ (нижняя граница):

$V(2) = 27\pi(2) - \pi(2)^3 = 54\pi - 8\pi = 46\pi$

2. При $r = 3$ (критическая точка):

$V(3) = 27\pi(3) - \pi(3)^3 = 81\pi - 27\pi = 54\pi$

3. При $r = 4$ (верхняя граница):

$V(4) = 27\pi(4) - \pi(4)^3 = 108\pi - 64\pi = 44\pi$

Сравнивая полученные значения объёма ($46\pi$, $54\pi$, $44\pi$), мы видим, что наибольшее значение достигается при $r=3$ см.

Таким образом, наибольший возможный объём цилиндра составляет $54\pi \text{ см}^3$.

Ответ: Наибольший возможный объём цилиндра равен $54\pi \text{ см}^3$.