Номер 1075, страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1075, страница 349.

№1075 (с. 349)
Условие. №1075 (с. 349)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 349, номер 1075, Условие

1075. Найти наибольший возможный объём цилиндра, площадь полной поверхности которого равна $54\pi$ см$^2$, если известно, что радиус основания не меньше 2 см и не больше 4 см.

Решение 1. №1075 (с. 349)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 349, номер 1075, Решение 1
Решение 2. №1075 (с. 349)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 349, номер 1075, Решение 2
Решение 3. №1075 (с. 349)

Для решения задачи нам нужно найти наибольшее значение функции объёма цилиндра при заданных ограничениях.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$.

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

$V = \pi r^2 h$

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности (прямоугольника):

$S_{полн} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h$

По условию задачи, площадь полной поверхности равна $54\pi \text{ см}^2$, а радиус основания находится в пределах от 2 см до 4 см:

$S_{полн} = 54\pi$

$2 \le r \le 4$

Подставим значение площади в формулу и выразим высоту $h$ через радиус $r$:

$54\pi = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

Разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$27 = r^2 + rh$

$rh = 27 - r^2$

$h = \frac{27 - r^2}{r} = \frac{27}{r} - r$

Так как высота $h$ должна быть положительной, то $h > 0$, что означает $\frac{27}{r} - r > 0$, или $r^2 < 27$. Это условие ($r < \sqrt{27} \approx 5.2$) выполняется для всего заданного диапазона $2 \le r \le 4$.

Теперь подставим выражение для $h$ в формулу объёма, чтобы получить функцию объёма $V$ от одной переменной $r$:

$V(r) = \pi r^2 h = \pi r^2 \left( \frac{27 - r^2}{r} \right) = \pi r (27 - r^2) = 27\pi r - \pi r^3$

Нам нужно найти наибольшее значение функции $V(r) = 27\pi r - \pi r^3$ на отрезке $[2, 4]$.

Для этого найдём производную функции $V(r)$ по переменной $r$ и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки:

$V'(r) = (27\pi r - \pi r^3)' = 27\pi - 3\pi r^2$

Приравняем производную к нулю:

$27\pi - 3\pi r^2 = 0$

$3\pi r^2 = 27\pi$

$r^2 = 9$

$r = 3$ (так как радиус не может быть отрицательным)

Критическая точка $r = 3$ принадлежит отрезку $[2, 4]$.

Теперь, чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно вычислить значения функции в критической точке и на концах отрезка:

1. При $r = 2$ (нижняя граница):

$V(2) = 27\pi(2) - \pi(2)^3 = 54\pi - 8\pi = 46\pi$

2. При $r = 3$ (критическая точка):

$V(3) = 27\pi(3) - \pi(3)^3 = 81\pi - 27\pi = 54\pi$

3. При $r = 4$ (верхняя граница):

$V(4) = 27\pi(4) - \pi(4)^3 = 108\pi - 64\pi = 44\pi$

Сравнивая полученные значения объёма ($46\pi$, $54\pi$, $44\pi$), мы видим, что наибольшее значение достигается при $r=3$ см.

Таким образом, наибольший возможный объём цилиндра составляет $54\pi \text{ см}^3$.

Ответ: Наибольший возможный объём цилиндра равен $54\pi \text{ см}^3$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1075 расположенного на странице 349 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1075 (с. 349), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.