Номер 1070, страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1070, страница 349.

Условие.

1070. Исследовать с помощью производной функцию $y = x^3 - 5x^2 - x + 5$ и построить её график. Записать уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой, равной 4.

Исследовать функцию $y = f(x)$ и построить её график

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Исследовать с помощью производной функцию $y = x^3 - 5x^2 - x + 5$ и построить её график

Проведем полное исследование функции $f(x) = x^3 - 5x^2 - x + 5$.

1. Область определения

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность

Найдем значение функции от $-x$:
$f(-x) = (-x)^3 - 5(-x)^2 - (-x) + 5 = -x^3 - 5x^2 + x + 5$.
Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат

С осью Oy (при $x=0$):
$y = 0^3 - 5(0)^2 - 0 + 5 = 5$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; 5)$.

С осью Ox (при $y=0$):
$x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0$.
Сгруппируем слагаемые: $x^2(x - 5) - (x - 5) = 0$.
Вынесем общий множитель $(x-5)$: $(x^2 - 1)(x - 5) = 0$.
$(x - 1)(x + 1)(x - 5) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$, $x_3 = 5$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(5; 0)$.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции:
$y' = f'(x) = (x^3 - 5x^2 - x + 5)' = 3x^2 - 10x - 1$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $3x^2 - 10x - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 100 + 12 = 112$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 4\sqrt{7}}{6} = \frac{5 \pm 2\sqrt{7}}{3}$.
Критические точки: $x_{max} = \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3} \approx -0.10$ и $x_{min} = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3} \approx 3.43$.
Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

• При $x \in (-\infty; \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3})$, $y' > 0$, функция возрастает ($\nearrow$).
• При $x \in (\frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}; \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3})$, $y' < 0$, функция убывает ($\searrow$).
• При $x \in (\frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает ($\nearrow$).

В точке $x = \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = f(\frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}) \approx (-0.1)^3 - 5(-0.1)^2 - (-0.1) + 5 = -0.001 - 0.05 + 0.1 + 5 = 5.049$.
Точка максимума: $(\frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}; 5.049)$.
В точке $x = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = f(\frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}) \approx (3.43)^3 - 5(3.43)^2 - 3.43 + 5 \approx 40.36 - 58.82 - 3.43 + 5 = -16.89$.
Точка минимума: $(\frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}; -16.89)$.

5. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:
$y'' = f''(x) = (3x^2 - 10x - 1)' = 6x - 10$.
Приравняем вторую производную к нулю: $6x - 10 = 0 \Rightarrow x = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
Определим знаки второй производной:

• При $x \in (-\infty; \frac{5}{3})$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (∩).
• При $x \in (\frac{5}{3}; +\infty)$, $y'' > 0$, график функции вогнутый, т.е. выпуклый вниз (∪).

Поскольку в точке $x = \frac{5}{3}$ вторая производная меняет знак, это точка перегиба.
Найдем ординату точки перегиба: $y(\frac{5}{3}) = (\frac{5}{3})^3 - 5(\frac{5}{3})^2 - \frac{5}{3} + 5 = \frac{125}{27} - \frac{125}{9} - \frac{5}{3} + 5 = \frac{125 - 375 - 45 + 135}{27} = -\frac{160}{27} \approx -5.93$.
Точка перегиба: $(\frac{5}{3}; -\frac{160}{27})$.

6. Построение графика

На основе полученных данных строим график функции. Отмечаем точки пересечения с осями $(-1; 0), (1; 0), (5; 0)$ и $(0; 5)$, точку максимума $(\approx -0.1; 5.05)$, точку минимума $(\approx 3.43; -16.89)$ и точку перегиба $(\approx 1.67; -5.93)$. Соединяем точки плавной линией с учетом интервалов монотонности и выпуклости.

Ответ: Функция исследована. Ключевые точки: пересечение с Oy - $(0; 5)$; пересечения с Ox - $(-1; 0), (1; 0), (5; 0)$; локальный максимум в точке $x = \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3} \approx -0.1$; локальный минимум в точке $x = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3} \approx 3.43$; точка перегиба $x = \frac{5}{3} \approx 1.67$. График построен.

---

Записать уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой, равной 4

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию, точка касания имеет абсциссу $x_0 = 4$.

1. Найдем значение функции в этой точке (ординату точки касания):
$f(4) = 4^3 - 5(4)^2 - 4 + 5 = 64 - 5(16) - 4 + 5 = 64 - 80 - 4 + 5 = -15$.

2. Найдем значение производной в этой точке (угловой коэффициент касательной):
$f'(x) = 3x^2 - 10x - 1$.
$f'(4) = 3(4)^2 - 10(4) - 1 = 3 \cdot 16 - 40 - 1 = 48 - 41 = 7$.

3. Подставим найденные значения $x_0=4$, $f(x_0)=-15$ и $f'(x_0)=7$ в уравнение касательной:
$y = -15 + 7(x - 4)$.
$y = -15 + 7x - 28$.
$y = 7x - 43$.

Ответ: $y = 7x - 43$.