Номер 1068, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1068, страница 348.

Условие.

1068. Найти эстремумы функции:

1) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 4$;

2) $f(x) = x^4 - 2x^5 + 5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 4$

Для нахождения экстремумов функции необходимо найти её производную, приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследовать знак производной на интервалах, образованных этими точками.

1. Найдём область определения функции. Так как функция является многочленом, её область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x + 4)' = 3x^2 + 6x - 9$.

3. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 + 6x - 9 = 0$
Разделим обе части уравнения на 3:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Это квадратное уравнение, которое можно решить, например, разложением на множители:
$(x+3)(x-1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$ и $(1; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -3)$ выберем пробную точку, например $x = -4$.
$f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 3 \cdot 16 - 24 - 9 = 48 - 33 = 15 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.
- На интервале $(-3; 1)$ выберем пробную точку, например $x = 0$.
$f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция убывает.
- На интервале $(1; +\infty)$ выберем пробную точку, например $x = 2$.
$f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 3 \cdot 4 + 12 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.

5. Определим характер точек экстремума.
В точке $x = -3$ производная меняет свой знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума.
В точке $x = 1$ производная меняет свой знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума.

6. Вычислим значения функции в точках экстремума.
Значение в точке максимума: $y_{max} = f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 4 = -27 + 3 \cdot 9 + 27 + 4 = 31$.
Значение в точке минимума: $y_{min} = f(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 9 \cdot 1 + 4 = 1 + 3 - 9 + 4 = -1$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -3$, максимальное значение функции $f(-3) = 31$; точка минимума $x_{min} = 1$, минимальное значение функции $f(1) = -1$.

2) $f(x) = x^4 - 2x^5 + 5$

Применим тот же алгоритм для второй функции.

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^4 - 2x^5 + 5)' = 4x^3 - 10x^4$.

3. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$4x^3 - 10x^4 = 0$
Вынесем общий множитель $2x^3$ за скобки:
$2x^3(2 - 5x) = 0$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{5}$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{2}{5})$ и $(\frac{2}{5}; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$ выберем пробную точку $x = -1$.
$f'(-1) = 4(-1)^3 - 10(-1)^4 = -4 - 10 = -14 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(0; \frac{2}{5})$ выберем пробную точку $x = 0.1$.
$f'(0.1) = 4(0.1)^3 - 10(0.1)^4 = 4 \cdot 0.001 - 10 \cdot 0.0001 = 0.004 - 0.001 = 0.003 > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(\frac{2}{5}; +\infty)$ выберем пробную точку $x = 1$.
$f'(1) = 4(1)^3 - 10(1)^4 = 4 - 10 = -6 < 0$. Функция убывает.

5. Определим характер точек экстремума.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка локального минимума.
В точке $x = \frac{2}{5}$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка локального максимума.

6. Вычислим значения функции в точках экстремума.
Значение в точке минимума: $y_{min} = f(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^5 + 5 = 5$.
Значение в точке максимума: $y_{max} = f(\frac{2}{5}) = (\frac{2}{5})^4 - 2(\frac{2}{5})^5 + 5 = \frac{16}{625} - 2 \cdot \frac{32}{3125} + 5 = \frac{16 \cdot 5}{3125} - \frac{64}{3125} + 5 = \frac{80 - 64}{3125} + 5 = \frac{16}{3125} + 5 = 5\frac{16}{3125}$.

Ответ: точка минимума $x_{min} = 0$, минимальное значение функции $f(0) = 5$; точка максимума $x_{max} = \frac{2}{5}$, максимальное значение функции $f(\frac{2}{5}) = 5\frac{16}{3125}$.