Номер 1062, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1062, страница 348.

Условие.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

(1062–1064).

1062. 1) $y = 2\sin x + \sin 2x$ на отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$;

2) $y = 2\sin x + \cos 2x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2\sin x + \sin 2x$ на отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке следующий:
1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции (точки, в которых производная равна нулю или не существует), принадлежащие данному отрезку.
3. Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка.
4. Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее.

1. Находим производную функции $y(x)$:
$y' = (2\sin x + \sin 2x)' = 2\cos x + (\cos 2x) \cdot 2 = 2\cos x + 2\cos 2x$.

2. Находим критические точки. Для этого приравниваем производную к нулю:
$2\cos x + 2\cos 2x = 0$
$\cos x + \cos 2x = 0$
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
$\cos x + (2\cos^2 x - 1) = 0$
$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$:
$2t^2 + t - 1 = 0$
Находим корни по формуле для корней квадратного уравнения:
$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$
$t_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$
$t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.

Возвращаемся к переменной $x$:
а) $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) $\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем те корни, которые принадлежат отрезку $[0; \frac{3\pi}{2}]$:
Из серии $x = \pi + 2\pi n$ при $n=0$ получаем $x = \pi$. Этот корень принадлежит отрезку.
Из серии $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ при $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{3}$. Отрезку принадлежит только $x = \frac{\pi}{3}$.
Итак, критические точки на данном отрезке: $x_1 = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \pi$.

3. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка: $0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{3\pi}{2}$.
$y(0) = 2\sin(0) + \sin(2 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$.
$y(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{2\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
$y(\pi) = 2\sin(\pi) + \sin(2\pi) = 2 \cdot 0 + 0 = 0$.
$y(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + \sin(2 \cdot \frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot (-1) + \sin(3\pi) = -2 + 0 = -2$.

4. Сравниваем полученные значения: $\{0; \frac{3\sqrt{3}}{2}; 0; -2\}$.
Наибольшее значение: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Наименьшее значение: $-2$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб.} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение $y_{наим.} = -2$.

---

2)

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2\sin x + \cos 2x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Будем действовать по тому же алгоритму.

1. Находим производную функции $y(x)$:
$y' = (2\sin x + \cos 2x)' = 2\cos x - (\sin 2x) \cdot 2 = 2\cos x - 2\sin 2x$.

2. Находим критические точки:
$2\cos x - 2\sin 2x = 0$
$\cos x - \sin 2x = 0$
Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
$\cos x - 2\sin x \cos x = 0$
$\cos x (1 - 2\sin x) = 0$
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
а) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) $1 - 2\sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$:
Из серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ при $n=0$ получаем $x = \frac{\pi}{2}$. Этот корень является правым концом отрезка.
Из серии $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$ при $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{6}$. Этот корень принадлежит отрезку.
Таким образом, единственная критическая точка внутри отрезка - это $x = \frac{\pi}{6}$.

3. Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка: $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$.
$y(0) = 2\sin(0) + \cos(2 \cdot 0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1$.
$y(\frac{\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
$y(\frac{\pi}{2}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\pi) = 2 \cdot 1 + (-1) = 1$.

4. Сравниваем полученные значения: $\{1; \frac{3}{2}; 1\}$.
Наибольшее значение: $\frac{3}{2}$.
Наименьшее значение: $1$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб.} = \frac{3}{2}$, наименьшее значение $y_{наим.} = 1$.