Номер 1060, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1060, страница 348.

Условие.

Найти точки экстремума функции (1060–1061).

1060.

1) $y=(x-1)^3 (x-2)^2$;

2) $y=4+(6-x)^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = (x-1)^3(x-2)^2$

Для нахождения точек экстремума функции найдем ее производную и приравняем ее к нулю. Область определения данной функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = ((x-1)^3)'(x-2)^2 + (x-1)^3((x-2)^2)'$

$y' = 3(x-1)^2 \cdot (x-2)^2 + (x-1)^3 \cdot 2(x-2)$

Для упрощения вынесем общий множитель $(x-1)^2(x-2)$ за скобки:

$y' = (x-1)^2(x-2)[3(x-2) + 2(x-1)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$3(x-2) + 2(x-1) = 3x - 6 + 2x - 2 = 5x - 8$

Таким образом, производная функции имеет вид:

$y' = (x-1)^2(x-2)(5x-8)$

Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$(x-1)^2(x-2)(5x-8) = 0$

Это уравнение имеет три корня: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = \frac{8}{5} = 1.6$.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые эти точки делят числовую ось. Знак производной $y'$ зависит от знака произведения $(x-2)(5x-8)$, так как множитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен и не влияет на смену знака (за исключением точки $x=1$, где он обнуляет производную).

- На интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; 1.6)$ производная $y' > 0$, так как множители $(x-2)$ и $(5x-8)$ оба отрицательны. Значит, функция возрастает. В точке $x=1$ производная не меняет знак, поэтому $x=1$ не является точкой экстремума.

- На интервале $(1.6; 2)$ производная $y' < 0$, так как $(x-2) < 0$, а $(5x-8) > 0$. Значит, функция убывает. При переходе через точку $x=1.6$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, $x=1.6$ — точка максимума.

- На интервале $(2; +\infty)$ производная $y' > 0$, так как множители $(x-2)$ и $(5x-8)$ оба положительны. Значит, функция возрастает. При переходе через точку $x=2$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, $x=2$ — точка минимума.

Ответ: $x_{max} = 1.6$, $x_{min} = 2$.

2) $y = 4 + (6-x)^4$

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Анализ свойств функции

Рассмотрим выражение $(6-x)^4$. Поскольку показатель степени 4 является четным числом, это выражение всегда неотрицательно: $(6-x)^4 \ge 0$ для любого действительного значения $x$.

Наименьшее значение выражения $(6-x)^4$ равно 0. Оно достигается при условии, что $6-x=0$, то есть при $x=6$.

Следовательно, наименьшее значение всей функции $y$ равно $y_{min} = 4 + 0 = 4$. Это значение достигается в точке $x=6$, которая и является точкой минимума. Точек максимума у функции нет, так как она неограниченно возрастает при $x \to \pm\infty$.

Способ 2: Использование производной

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную функции по правилу дифференцирования сложной функции:

$y' = (4 + (6-x)^4)' = 0 + 4(6-x)^3 \cdot (6-x)' = 4(6-x)^3 \cdot (-1) = -4(6-x)^3$

Приравняем производную к нулю для нахождения стационарных точек:

$-4(6-x)^3 = 0 \Rightarrow 6-x = 0 \Rightarrow x=6$.

Исследуем знак производной в окрестности точки $x=6$:

- Если $x < 6$, то $6-x > 0$, и $y' = -4(6-x)^3 < 0$. На этом интервале функция убывает.

- Если $x > 6$, то $6-x < 0$, и $y' = -4(6-x)^3 > 0$. На этом интервале функция возрастает.

Поскольку при переходе через точку $x=6$ знак производной меняется с «-» на «+», $x=6$ является точкой минимума. Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $x_{min} = 6$.