Номер 1053, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1053, страница 347.

Условие.

1053. Найти угол между осью $Ox$ и касательной к графику функции $y=x^3-x^2-7x+6$ в точке $M(2; -4)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол $\alpha$ между касательной к графику функции и положительным направлением оси Ox находится через тангенс этого угла. Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент $k$) равен значению производной функции $y=f(x)$ в точке касания с абсциссой $x_0$. Таким образом, $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$.

Дана функция $y = x^3 - x^2 - 7x + 6$ и точка касания $M(2; -4)$. Абсцисса точки касания $x_0 = 2$.

1. Найдем производную функции:
$y' = (x^3 - x^2 - 7x + 6)' = 3x^2 - 2x - 7$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$, чтобы найти угловой коэффициент касательной $k$:
$k = y'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 7 = 3 \cdot 4 - 4 - 7 = 12 - 11 = 1$.

3. Теперь, зная угловой коэффициент, найдем угол наклона $\alpha$:
$\tan(\alpha) = k = 1$.
Из этого уравнения находим угол $\alpha$. Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.
$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ радиан).

Ответ: $45^\circ$.