Номер 1051, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1051, страница 347.

Условие.

1051. Найти все точки графика функции $f(x)=e^{\frac{x}{3}}$, в которых касательная к этому графику проходит через начало координат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомая точка на графике функции $f(x) = e^{\frac{x}{3}}$ имеет координаты $(x_0, f(x_0))$. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:
$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
$f'(x) = \left(e^{\frac{x}{3}}\right)' = e^{\frac{x}{3}} \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = \frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}}$

Теперь запишем уравнение касательной для нашей функции в точке $x_0$:
$y_0 = f(x_0) = e^{\frac{x_0}{3}}$
$f'(x_0) = \frac{1}{3}e^{\frac{x_0}{3}}$
Подставляем эти значения в общее уравнение касательной:
$y - e^{\frac{x_0}{3}} = \frac{1}{3}e^{\frac{x_0}{3}}(x - x_0)$

По условию задачи, эта касательная проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Подставим координаты этой точки ($x=0$, $y=0$) в уравнение касательной, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$0 - e^{\frac{x_0}{3}} = \frac{1}{3}e^{\frac{x_0}{3}}(0 - x_0)$
$-e^{\frac{x_0}{3}} = -\frac{x_0}{3}e^{\frac{x_0}{3}}$

Поскольку значение $e^{\frac{x_0}{3}}$ всегда положительно, мы можем разделить обе части уравнения на $e^{\frac{x_0}{3}}$:
$-1 = -\frac{x_0}{3}$
Умножим обе части на $-3$:
$x_0 = 3$

Мы нашли абсциссу точки касания. Теперь найдем ее ординату, подставив $x_0 = 3$ в исходное уравнение функции:
$y_0 = f(3) = e^{\frac{3}{3}} = e^1 = e$

Таким образом, единственная точка на графике функции, в которой касательная проходит через начало координат, это точка с координатами $(3, e)$.

Ответ: $(3, e)$.