Номер 1049, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1049, страница 347.

Условие.

1049. Найти точки, в которых касательные к графику функции
$y = 4x^3 - 9x^2 + 6x + 1$
параллельны оси абсцисс.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Условие, что касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, означает, что ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной в некоторой точке равен значению производной функции в этой точке. Следовательно, для нахождения искомых точек необходимо найти производную данной функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение. Найденные корни будут являться абсциссами (координатами $x$) искомых точек.

Исходная функция: $y = 4x^3 - 9x^2 + 6x + 1$.

1. Нахождение производной функции
Найдём производную $y'$ по правилам дифференцирования:
$y' = (4x^3 - 9x^2 + 6x + 1)' = (4x^3)' - (9x^2)' + (6x)' + (1)'$
$y' = 4 \cdot 3x^2 - 9 \cdot 2x + 6 \cdot 1 + 0$
$y' = 12x^2 - 18x + 6$

2. Решение уравнения $y' = 0$
Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссы точек, в которых касательная горизонтальна:
$12x^2 - 18x + 6 = 0$
Для упрощения вычислений можно разделить все члены уравнения на их общий делитель 6:
$2x^2 - 3x + 1 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

3. Нахождение ординат точек
Мы нашли абсциссы точек. Теперь найдем соответствующие им ординаты (координаты $y$), подставив значения $x_1$ и $x_2$ в исходное уравнение функции $y = 4x^3 - 9x^2 + 6x + 1$.
Для $x_1 = \frac{1}{2}$:
$y_1 = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 9\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 6\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 4\left(\frac{1}{8}\right) - 9\left(\frac{1}{4}\right) + 3 + 1 = \frac{4}{8} - \frac{9}{4} + 4 = \frac{1}{2} - \frac{9}{4} + 4$
Приводим к общему знаменателю 4:
$y_1 = \frac{2}{4} - \frac{9}{4} + \frac{16}{4} = \frac{2 - 9 + 16}{4} = \frac{9}{4}$
Следовательно, первая точка: $\left(\frac{1}{2}; \frac{9}{4}\right)$.
Для $x_2 = 1$:
$y_2 = 4(1)^3 - 9(1)^2 + 6(1) + 1 = 4 - 9 + 6 + 1 = 2$
Следовательно, вторая точка: $(1; 2)$.

Ответ: $\left(\frac{1}{2}; \frac{9}{4}\right)$ и $(1; 2)$.