Номер 1045, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1045, страница 347.

Условие.

1045. Написать уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x)=\frac{3}{4x\sqrt{x}}$, $x_0=\frac{1}{4}$;

2) $f(x)=2x^4-x^2+4$, $x_0=-1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $f(x)=\frac{3}{4x\sqrt{x}}, x_0=\frac{1}{4}$

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала преобразуем функцию для удобства нахождения производной:

$f(x) = \frac{3}{4x\sqrt{x}} = \frac{3}{4x \cdot x^{1/2}} = \frac{3}{4x^{3/2}} = \frac{3}{4}x^{-3/2}$.

Теперь найдем значение функции в точке $x_0 = \frac{1}{4}$:

$f(x_0) = f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}\left(\frac{1}{4}\right)^{-3/2} = \frac{3}{4} \cdot 4^{3/2} = \frac{3}{4} \cdot (\sqrt{4})^3 = \frac{3}{4} \cdot 2^3 = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6$.

Далее найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{3}{4}x^{-3/2}\right)' = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)x^{-3/2 - 1} = -\frac{9}{8}x^{-5/2}$.

Найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{4}$. Это и будет угловой коэффициент касательной.

$f'(x_0) = f'\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{9}{8}\left(\frac{1}{4}\right)^{-5/2} = -\frac{9}{8} \cdot 4^{5/2} = -\frac{9}{8} \cdot (\sqrt{4})^5 = -\frac{9}{8} \cdot 2^5 = -\frac{9}{8} \cdot 32 = -9 \cdot 4 = -36$.

Подставим найденные значения $x_0 = \frac{1}{4}$, $f(x_0) = 6$ и $f'(x_0) = -36$ в уравнение касательной:

$y = 6 + (-36)\left(x - \frac{1}{4}\right)$.

Упростим полученное уравнение:

$y = 6 - 36x + 36 \cdot \frac{1}{4}$

$y = 6 - 36x + 9$

$y = -36x + 15$.

Ответ: $y = -36x + 15$.

2) $f(x)=2x^4 - x^2 + 4, x_0=-1$

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(x_0) = f(-1) = 2(-1)^4 - (-1)^2 + 4 = 2 \cdot 1 - 1 + 4 = 5$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^4 - x^2 + 4)' = 2 \cdot 4x^3 - 2x + 0 = 8x^3 - 2x$.

Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(x_0) = f'(-1) = 8(-1)^3 - 2(-1) = 8(-1) + 2 = -8 + 2 = -6$.

Подставим найденные значения $x_0 = -1$, $f(x_0) = 5$ и $f'(x_0) = -6$ в уравнение касательной:

$y = 5 + (-6)(x - (-1))$.

Упростим полученное уравнение:

$y = 5 - 6(x + 1)$

$y = 5 - 6x - 6$

$y = -6x - 1$.

Ответ: $y = -6x - 1$.