Номер 1043, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1043, страница 347.

Условие.

1043. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = \sin x + \cos x, x_0 = \frac{\pi}{2}$;

2) $f(x) = \cos 3x, x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = f'(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = \sin x + \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x + \cos x)' = (\sin x)' + (\cos x)' = \cos x - \sin x$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$, чтобы найти угловой коэффициент:

$k = f'(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$k = 0 - 1 = -1$.

Ответ: -1

2) Дана функция $f(x) = \cos 3x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$k = f'(\frac{\pi}{6}) = -3\sin(3 \cdot \frac{\pi}{6}) = -3\sin(\frac{3\pi}{6}) = -3\sin(\frac{\pi}{2})$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$k = -3 \cdot 1 = -3$.

Ответ: -3