Номер 1041, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1041, страница 347.

Условие.

1041. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых вершины двух парабол $y = 4x^2 + 8ax - a$ и $y = 4ax^2 - 8x + a - 2$ лежат по одну сторону от прямой $y = -5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Условие, что вершины двух парабол лежат по одну сторону от горизонтальной прямой $y=c$, означает, что ординаты их вершин $y_{v1}$ и $y_{v2}$ либо обе больше $c$, либо обе меньше $c$. Это условие равносильно выполнению неравенства $(y_{v1} - c)(y_{v2} - c) > 0$. В данной задаче прямая задана уравнением $y = -5$, поэтому $c=-5$. Таким образом, нам нужно решить неравенство:

$(y_{v1} + 5)(y_{v2} + 5) > 0$

Сначала найдем координаты вершин каждой параболы.

Для первой параболы $y_1 = 4x^2 + 8ax - a$:

Координаты вершины параболы вида $y=Ax^2+Bx+C$ находятся по формулам $x_v = -\frac{B}{2A}$, $y_v = y(x_v)$.

$x_{v1} = -\frac{8a}{2 \cdot 4} = -a$

$y_{v1} = 4(-a)^2 + 8a(-a) - a = 4a^2 - 8a^2 - a = -4a^2 - a$

Для второй параболы $y_2 = 4ax^2 - 8x + a - 2$:

Это уравнение является уравнением параболы только при условии, что коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $4a \neq 0$, откуда $a \neq 0$.

$x_{v2} = -\frac{-8}{2 \cdot 4a} = \frac{8}{8a} = \frac{1}{a}$

$y_{v2} = 4a\left(\frac{1}{a}\right)^2 - 8\left(\frac{1}{a}\right) + a - 2 = \frac{4a}{a^2} - \frac{8}{a} + a - 2 = \frac{4}{a} - \frac{8}{a} + a - 2 = a - \frac{4}{a} - 2$

Теперь подставим найденные ординаты $y_{v1}$ и $y_{v2}$ в наше неравенство:

$(-4a^2 - a + 5) \left( (a - \frac{4}{a} - 2) + 5 \right) > 0$

$(-4a^2 - a + 5) \left( a + 3 - \frac{4}{a} \right) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни каждого множителя и точки, где они не определены.

1. Рассмотрим первый множитель: $-4a^2 - a + 5$. Найдем его корни, решив уравнение:

$4a^2 + a - 5 = 0$

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.

$a_{1,2} = \frac{-1 \pm 9}{8}$, откуда $a_1 = \frac{8}{8} = 1$ и $a_2 = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$.

2. Рассмотрим второй множитель: $a + 3 - \frac{4}{a}$. Приведем к общему знаменателю:

$\frac{a^2 + 3a - 4}{a}$

Найдем корни числителя: $a^2 + 3a - 4 = 0$. По теореме Виета, корни $a_3 = 1$ и $a_4 = -4$.

Знаменатель обращается в ноль при $a=0$. Эта точка также является критической, так как в ней второй множитель не определен и меняет знак.

Нанесем все найденные точки $a=-4$, $a=-5/4$, $a=0$, $a=1$ на числовую ось и определим знаки произведения на получившихся интервалах.

Неравенство имеет вид: $-(4a^2+a-5) \cdot \frac{a^2+3a-4}{a} > 0$, что эквивалентно $(a-1)(a+\frac{5}{4}) \cdot \frac{(a-1)(a+4)}{a} < 0$, или $\frac{(a-1)^2(a+5/4)(a+4)}{a} < 0$.

Так как множитель $(a-1)^2$ всегда неотрицателен (и равен нулю при $a=1$, что не является решением неравенства), то знак выражения зависит от знака $\frac{(a+5/4)(a+4)}{a}$.

Решаем неравенство $\frac{(a+4)(a+5/4)}{a} < 0$ методом интервалов с точками $-4$, $-5/4$, $0$.

• При $a > 0$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Не подходит.
• При $-5/4 < a < 0$: $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$. Подходит.
• При $-4 < a < -5/4$: $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$. Не подходит.
• При $a < -4$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Подходит.

Объединяя полученные интервалы и исключая точку $a=1$, получаем решение. Заметим, что $a=1$ и так не входит в найденные интервалы.

Таким образом, значения параметра $a$ принадлежат объединению интервалов $(-\infty, -4)$ и $(-5/4, 0)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -4) \cup (-\frac{5}{4}; 0)$.