Номер 1038, страница 346 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1038, страница 346.
№1038 (с. 346)
Условие. №1038 (с. 346)
скриншот условия

1038 Найти все значения $x$, при которых функция $y = 6\cos^2 x + 6\sin x - 2$ принимает наибольшее значение.
Решение 1. №1038 (с. 346)

Решение 2. №1038 (с. 346)

Решение 3. №1038 (с. 346)
Для нахождения значений $x$, при которых функция $y = 6\cos^2x + 6\sin x - 2$ принимает наибольшее значение, преобразуем ее, приведя к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество: $\cos^2x = 1 - \sin^2x$.
Подставим это выражение в исходную функцию:
$y = 6(1 - \sin^2x) + 6\sin x - 2$
$y = 6 - 6\sin^2x + 6\sin x - 2$
$y = -6\sin^2x + 6\sin x + 4$
Чтобы найти наибольшее значение этой функции, введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус $[-1, 1]$, то для переменной $t$ справедливо ограничение $-1 \le t \le 1$.
После замены функция примет вид квадратичной зависимости от $t$:
$y(t) = -6t^2 + 6t + 4$
Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при старшем члене $t^2$ отрицателен ($-6 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что свое наибольшее значение парабола принимает в вершине.
Найдем координату вершины параболы $t_0$ по формуле $t_0 = -\frac{b}{2a}$:
$t_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-6)} = -\frac{6}{-12} = \frac{1}{2}$
Полученное значение $t_0 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$. Следовательно, наибольшее значение функции достигается именно при $t = \frac{1}{2}$.
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти соответствующие значения $x$.
$\sin x = t = \frac{1}{2}$
Решим это тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае:
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
Это и есть все значения $x$, при которых исходная функция принимает свое наибольшее значение.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1038 расположенного на странице 346 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1038 (с. 346), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.