Номер 1038, страница 346 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1038, страница 346.

№1038 (с. 346)
Условие. №1038 (с. 346)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 346, номер 1038, Условие

1038 Найти все значения $x$, при которых функция $y = 6\cos^2 x + 6\sin x - 2$ принимает наибольшее значение.

Решение 1. №1038 (с. 346)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 346, номер 1038, Решение 1
Решение 2. №1038 (с. 346)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 346, номер 1038, Решение 2
Решение 3. №1038 (с. 346)

Для нахождения значений $x$, при которых функция $y = 6\cos^2x + 6\sin x - 2$ принимает наибольшее значение, преобразуем ее, приведя к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество: $\cos^2x = 1 - \sin^2x$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = 6(1 - \sin^2x) + 6\sin x - 2$

$y = 6 - 6\sin^2x + 6\sin x - 2$

$y = -6\sin^2x + 6\sin x + 4$

Чтобы найти наибольшее значение этой функции, введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус $[-1, 1]$, то для переменной $t$ справедливо ограничение $-1 \le t \le 1$.

После замены функция примет вид квадратичной зависимости от $t$:

$y(t) = -6t^2 + 6t + 4$

Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при старшем члене $t^2$ отрицателен ($-6 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что свое наибольшее значение парабола принимает в вершине.

Найдем координату вершины параболы $t_0$ по формуле $t_0 = -\frac{b}{2a}$:

$t_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-6)} = -\frac{6}{-12} = \frac{1}{2}$

Полученное значение $t_0 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$. Следовательно, наибольшее значение функции достигается именно при $t = \frac{1}{2}$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти соответствующие значения $x$.

$\sin x = t = \frac{1}{2}$

Решим это тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае:

$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Это и есть все значения $x$, при которых исходная функция принимает свое наибольшее значение.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1038 расположенного на странице 346 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1038 (с. 346), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.