Номер 1038, страница 346 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1038, страница 346.

Условие.

1038 Найти все значения $x$, при которых функция $y = 6\cos^2 x + 6\sin x - 2$ принимает наибольшее значение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения значений $x$, при которых функция $y = 6\cos^2x + 6\sin x - 2$ принимает наибольшее значение, преобразуем ее, приведя к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество: $\cos^2x = 1 - \sin^2x$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = 6(1 - \sin^2x) + 6\sin x - 2$

$y = 6 - 6\sin^2x + 6\sin x - 2$

$y = -6\sin^2x + 6\sin x + 4$

Чтобы найти наибольшее значение этой функции, введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус $[-1, 1]$, то для переменной $t$ справедливо ограничение $-1 \le t \le 1$.

После замены функция примет вид квадратичной зависимости от $t$:

$y(t) = -6t^2 + 6t + 4$

Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при старшем члене $t^2$ отрицателен ($-6 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что свое наибольшее значение парабола принимает в вершине.

Найдем координату вершины параболы $t_0$ по формуле $t_0 = -\frac{b}{2a}$:

$t_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-6)} = -\frac{6}{-12} = \frac{1}{2}$

Полученное значение $t_0 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$. Следовательно, наибольшее значение функции достигается именно при $t = \frac{1}{2}$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти соответствующие значения $x$.

$\sin x = t = \frac{1}{2}$

Решим это тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае:

$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Это и есть все значения $x$, при которых исходная функция принимает свое наибольшее значение.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.