Номер 1037, страница 346 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1037, страница 346.
№1037 (с. 346)
Условие. №1037 (с. 346)
скриншот условия

1037. 1) $y = \sin x \cdot \cos x$;
2) $y = \log_2 (x^2 + 2)$.
Решение 1. №1037 (с. 346)


Решение 2. №1037 (с. 346)

Решение 3. №1037 (с. 346)
1) $y = \sin x \cdot \cos x$
Для нахождения производной этой функции можно применить два подхода.
Способ 1: Использование правила произведения.
Правило производной произведения двух функций $(u \cdot v)'$ имеет вид $u'v + uv'$.
В нашем случае, пусть $u = \sin x$ и $v = \cos x$.
Находим производные этих функций: $u' = (\sin x)' = \cos x$ и $v' = (\cos x)' = -\sin x$.
Теперь подставляем найденные производные в формулу:
$y' = (\sin x)' \cdot \cos x + \sin x \cdot (\cos x)' = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.
Это выражение можно упростить, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.
Таким образом, $y' = \cos(2x)$.
Способ 2: Упрощение функции перед дифференцированием.
Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.
Из этой формулы следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.
Наша функция принимает вид: $y = \frac{1}{2}\sin(2x)$.
Теперь найдем производную этой сложной функции по правилу $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$:
$y' = \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)' = \frac{1}{2} \cdot (\sin(2x))' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = \cos(2x)$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: $y' = \cos(2x)$.
2) $y = \log_2(x^2 + 2)$
Для нахождения производной этой сложной функции воспользуемся правилом дифференцирования логарифмической функции и правилом дифференцирования сложной функции.
Производная логарифма с основанием $a$ от функции $u(x)$ находится по формуле: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \cdot \ln a}$.
В данном случае основание логарифма $a = 2$, а внутренняя функция $u(x) = x^2 + 2$.
Сначала найдем производную внутренней функции $u'(x)$:
$u'(x) = (x^2 + 2)' = (x^2)' + (2)' = 2x + 0 = 2x$.
Теперь подставляем $u(x)$ и $u'(x)$ в общую формулу производной логарифма:
$y' = \frac{2x}{(x^2 + 2) \cdot \ln 2}$.
Ответ: $y' = \frac{2x}{(x^2 + 2)\ln 2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1037 расположенного на странице 346 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1037 (с. 346), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.