Номер 1037, страница 346 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1037, страница 346.

Условие.

1037. 1) $y = \sin x \cdot \cos x$;

2) $y = \log_2 (x^2 + 2)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \sin x \cdot \cos x$

Для нахождения производной этой функции можно применить два подхода.

Способ 1: Использование правила произведения.

Правило производной произведения двух функций $(u \cdot v)'$ имеет вид $u'v + uv'$.

В нашем случае, пусть $u = \sin x$ и $v = \cos x$.

Находим производные этих функций: $u' = (\sin x)' = \cos x$ и $v' = (\cos x)' = -\sin x$.

Теперь подставляем найденные производные в формулу:

$y' = (\sin x)' \cdot \cos x + \sin x \cdot (\cos x)' = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Это выражение можно упростить, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Таким образом, $y' = \cos(2x)$.

Способ 2: Упрощение функции перед дифференцированием.

Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.

Из этой формулы следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Наша функция принимает вид: $y = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Теперь найдем производную этой сложной функции по правилу $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$:

$y' = \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)' = \frac{1}{2} \cdot (\sin(2x))' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = \cos(2x)$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $y' = \cos(2x)$.

2) $y = \log_2(x^2 + 2)$

Для нахождения производной этой сложной функции воспользуемся правилом дифференцирования логарифмической функции и правилом дифференцирования сложной функции.

Производная логарифма с основанием $a$ от функции $u(x)$ находится по формуле: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \cdot \ln a}$.

В данном случае основание логарифма $a = 2$, а внутренняя функция $u(x) = x^2 + 2$.

Сначала найдем производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (x^2 + 2)' = (x^2)' + (2)' = 2x + 0 = 2x$.

Теперь подставляем $u(x)$ и $u'(x)$ в общую формулу производной логарифма:

$y' = \frac{2x}{(x^2 + 2) \cdot \ln 2}$.

Ответ: $y' = \frac{2x}{(x^2 + 2)\ln 2}$.