Номер 1032, страница 346 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1032, страница 346.

Условие.

1032. 1) $y = \sqrt{\log_3 \frac{2x+1}{x-6}}$;

2) $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}} (x-3)-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения области определения функции (ОДЗ) необходимо учесть ограничения, накладываемые квадратным корнем и логарифмом.

1)

Дана функция $y = \sqrt{\log_3 \frac{2x+1}{x-6}}$.
Область определения этой функции задается системой неравенств: $$ \begin{cases} \log_3 \frac{2x+1}{x-6} \ge 0, \\ \frac{2x+1}{x-6} > 0. \end{cases} $$ Первое неравенство (подкоренное выражение должно быть неотрицательным) является более строгим. Если логарифм по основанию 3 (которое больше 1) неотрицателен, то его аргумент не меньше 1. А если аргумент не меньше 1, он автоматически больше 0. Таким образом, достаточно решить только первое неравенство: $$ \log_3 \frac{2x+1}{x-6} \ge 0 $$ Представим 0 как логарифм по основанию 3: $$ \log_3 \frac{2x+1}{x-6} \ge \log_3 1 $$ Так как основание логарифма $3 > 1$, функция $y=\log_3 t$ является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется: $$ \frac{2x+1}{x-6} \ge 1 $$ Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$ \frac{2x+1}{x-6} - 1 \ge 0 $$ $$ \frac{2x+1 - (x-6)}{x-6} \ge 0 $$ $$ \frac{2x+1 - x + 6}{x-6} \ge 0 $$ $$ \frac{x+7}{x-6} \ge 0 $$ Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x+7=0 \implies x=-7$ и $x-6=0 \implies x=6$. Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x=-7$ будет закрашенной (включена в решение), а точка $x=6$ — выколотой (знаменатель не может быть равен нулю).

Определим знаки выражения на каждом интервале:

• При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{7+7}{7-6} = 14 > 0$. Ставим "+".
• При $-7 < x < 6$ (например, $x=0$): $\frac{0+7}{0-6} = -\frac{7}{6} < 0$. Ставим "-".
• При $x < -7$ (например, $x=-8$): $\frac{-8+7}{-8-6} = \frac{-1}{-14} > 0$. Ставим "+".

Нам нужны интервалы со знаком "+", а также точка $x=-7$. Таким образом, получаем решение: $x \in (-\infty; -7] \cup (6; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -7] \cup (6; +\infty)$.

2)

Дана функция $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x-3) - 1}$.
Область определения этой функции задается системой неравенств: $$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}(x-3) - 1 \ge 0, \\ x-3 > 0. \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ \log_{\frac{1}{2}}(x-3) - 1 \ge 0 $$ $$ \log_{\frac{1}{2}}(x-3) \ge 1 $$ Представим 1 как логарифм по основанию $\frac{1}{2}$: $$ \log_{\frac{1}{2}}(x-3) \ge \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right) $$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция $y=\log_{\frac{1}{2}} t$ является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $$ x-3 \le \frac{1}{2} $$ $$ x \le 3 + \frac{1}{2} $$ $$ x \le 3.5 $$ Теперь решим второе неравенство системы: $$ x - 3 > 0 $$ $$ x > 3 $$ Теперь объединим оба решения в систему: $$ \begin{cases} x \le 3.5, \\ x > 3. \end{cases} $$ Пересечением этих двух условий является интервал $3 < x \le 3.5$.
Ответ: $D(y) = (3; 3.5]$.